Нормальне розшарування

Нормальне розшарування підмноговида $\displaystyle S$ гладкого многовида $\displaystyle M$ — векторне розшарування, що доповнює дотичне розшарування $\mathrm {T} S.$ Особливо важливим є випадок ріманових многовидів в якому нормальне розшарування в кожній точці є ортогональним доповненням $\mathrm {T} _{p}S$ до простору $\mathrm {T} _{p}M.$

Означення

Ріманові многовиди

Нехай $(M,g)$ — ріманів многовид і $S\subset M$ — ріманів підмноговид. Для $p\in S$, вектор $n\in \mathrm {T} _{p}M$ є нормальним до $S$ якщо $g(n,v)=0$ для всіх $v\in \mathrm {T} _{p}S.$ Тобто $n$ належить ортогональному доповненню простору $\mathrm {T} _{p}S$ до простору $\mathrm {T} _{p}M$. Множина $\mathrm {N} _{p}S$ нормальних векторів $n$ є векторним простором, що називається нормальним простором до $S$ в точці $\displaystyle p.$

Нормальним розшаруванням $\mathrm {N} S$ називається об'єднання всіх таких нормальних просторів:

$\mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S$.

Дане розшарування є векторним розшаруванням і дотичне розшарування $\mathrm {T} M$ є сумою Вітні розшарувань $\mathrm {T} S$ і $\mathrm {N} S.$

Загальний випадок

Якщо задано занурення $i\colon N\to M$ многовида, то нормальне розшарування до N в M можна визначивши в кожній точці N прийнявши за нормальний простір фактор-простір дотичного простору до M по дотичному простору до N. Тобто для $p\in S$ за означенням

N_pS = Ti(s)M / T_si(T_sS).

Для Ріманового многовиду цей фактор-простір є ізоморфним ортогональному доповненню до $i_{*}(\mathrm {T} _{p}S)$ в просторі $\mathrm {T} _{i(p)}M$ і дані два означення є еквівалентними, окрема, для будь-якої пари ріманових метрик на $\displaystyle M$ визначені ними нормальні розшарування є ізоморфними.

Дані означення також дають точну послідовність:

$0\to TS\to TM_{|S}\to NS\to 0.$

Див. також

• Векторне розшарування
• Дотичне розшарування
• Ортогональне доповнення

Посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Normal bundle, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4