Модуль над кільцем

(Перенаправлено з Модуль (алгебра))

Модуль над кільцемалгебрична структура в абстрактній алгебрі, що є узагальненням понять:

Назви ідеал та модуль походять з модульної арифметики, а саме з кратності за модулем.

Ідеалом кільця є його підкільце замкнене відносно множення на елементи кільця. Наприклад: числа кратні серед всіх цілих чисел.

Багато результатів для ідеалів є справедливими, якщо прибрати множення, а залишити тільки кратність елементів, тобто, замінити підкільце до незалежну комутативну групу.

Визначення ред.

Коли задано кільце  , то -модулем називається абелева група   з додатковою операцією множення на елементи кільця  ,

що задовільняє умови дистрибутивності та асоціативності  

  1.  ,
  2.  ,
  3.  ,
  4.  .

Якщо кільце є некомутативним, то такий модуль називається лівим. Для визначення правого модуля замінюють умову (3) на:

 .

Підмодуль, ідеал та гомоморфізм ред.

  • Підмодулем модуля   називається підгрупа групи  , замкнута відносно множення на елементи з  .
  • Якщо кільце розглядати як (лівий) модуль над собою ( ), тоді його підмодулі є лівими ідеалами; якщо кільце розглядати як правий модуль — правими ідеалами. В комутативному кільці ліві і праві ідеали збігаються.
  • Гомоморфізмом  -модулів   та   називається гомоморфізм груп  , для якого виконується умова  . Множину всіх таких гомоморфізмів позначають  .

Приклади ред.

  • Абелева група — модуль над кільцем цілих чисел ( -модуль).
  • Лінійний простір над полем   є модулем над полем  .
  • Лінійний простір   — модуль над кільцем всіх своїх лінійних перетворень  .

Історія ред.

Найпростіші  -модулі зустрічаються вже в роботах Гауса. Поняття модуля зустрічається вперше в 60-80-х роках 19 ст. в роботах Дедекінда та Кронекера. У той же час проводилось дослідження скінченномірних асоціативних алгебр (Пірс, Фробеніус), що призвело до вивчення ідеалів деяких некомутативних кілець. Спочатку теорія модулів розвивалась як теорія ідеалів деякого кільця, лише в роботах Еммі Нетер було замічено, що багато результатів можна зформулювати для довільних модулів, а не тільки ідеалів.

Див. також ред.

Джерела ред.