Модель перетинних поколінь
Модель перетинних (пересічних) поколінь (модель Даймонда, модель Самуельсона — Даймонда, англ. overlapping generations model) — модель екзогенного економічного зростання в умовах досконалої конкуренції. Розроблена в 1965 році Пітером Даймондом з використанням ідей Пола Самуельсона. У моделі відображено зміну споживчої поведінки індивіда з вікових причин. Це дозволило зробити кроки в напрямку розуміння того, яким чином рішення індивідів формують норму заощаджень в економіці. При цьому у моделі заперечуються альтруїстичні зв'язки між поколіннями, вона не дає задовільного пояснення відмінностям між країнами у рівні доходу на душу населення.
Історія створення ред.
У перших моделях економічного зростання (модель Солоу, модель Харрода — Домара) використовувалися задані екзогенно параметри «норма заощаджень» та «темп науково-технічного прогресу», від яких, зрештою, і залежали темпи зростання, які демонстрували моделі. Дослідники ж хотіли отримати обґрунтування темпів економічного зростання внутрішніми (ендогенними) факторами, оскільки моделі зі заздалегідь визначеною нормою заощаджень мали низку недоліків. Наприклад, вони не пояснювали стійкі відмінності у рівнях і темпах зростання між розвиненими країнами та країнами, що розвиваються. У моделі Рамсея — Касса — Купманса було подолано недолік екзогенності норми заощаджень. Однак вона зберегла інший недолік ранніх моделей — в ній розглядається безсмертний індивід (або домогосподарство) як рівномірний вічний споживач[1]. Але у реальності з часом характер фінансової та споживчої поведінки змінюється. Якщо в молодому віці індивід працює і робить заощадження, то в літньому віці він ці заощадження витрачає[2]. Саме на це майбутній лауреат Нобелівської премії з економіки Пол Самуельсон звернув прискіпливу увагу. У грудні 1958 року він опублікував роботу «Моделювання відсоткової ставки на основі співвідношення споживання та кредитування за наявності або відсутності соціальної концепції грошей», в якій була представлена проста модель економіки на основі ідей Ойґен фон Бем-Баверка про причини існування відсоткового доходу на капітал, де були виділені три періоди життя індивідуума та відповідне цим періодам споживання (у перших двох він працює, у третьому — виходить на пенсію)[3]. У грудні 1965 року Пітер Даймонд, також майбутній лауреат Нобелівської премії з економіки, опублікував роботу «Національний борг у неокласичній моделі зростання» у журналі The American Economic Review, в якій він розвинув ідеї Самуельсона з урахуванням висновків моделі Солоу та моделі Рамсея-Касса-Купманса і представив модель перетинних поколінь[1][2][4], також відому як модель Даймонда[5] або модель Самуельсона — Даймонда[6].
Опис моделі ред.
Базові передумови ред.
У моделі розглядається закрита економіка. Фірми функціонують за умов досконалої конкуренції та максимізують свій прибуток, а споживачі — корисність своїх витрат. Виготовляється лише один продукт , що використовується як для споживання , так і для виробничих потреб (враховується як інвестиції) . Темпи технологічного прогресу , зростання населення та норма вибуття обладнання (капіталу) — постійні і задаються екзогенно. Індивідууми живуть два періоди: у першому вони працюють, споживають та зберігають, у другому — лише споживають, витрачаючи власні заощадження з першого періоду (виходять на пенсію). Альтруїстичні зв'язки між поколіннями відсутні: молоді не допомагають людям похилого віку і не отримують спадщину. Час змінюється дискретно, тобто періоди не мають власної тривалості[6][7][8]. Один період моделі відповідає зміні виробничих поколінь, тобто у реальному вираженні еквівалентний приблизно 25—30 рокам[9].
Закритість економіки означає, що вироблений продукт витрачається тільки на заощадження і споживання, експорт/імпорт відсутні, інвестиції завжді дорівнюють заощадженням: , [10][11].
Виробнича функція задовольняє неокласичним передумовам[12]:
- технологічний прогрес збільшує продуктивність праці (нейтральний за Харродом): .
- у виробничій функції використовується праця та капітал , вона має постійну віддачу від масштабу: .
- гранична продуктивність факторів позитивна та спадна: .
- виробнича функція задовольняє умовам Інади, а саме, якщо запас одного з факторів нескінченно малий, то його гранична продуктивність нескінченно велика, якщо запас одного з факторів нескінченно великий, то його гранична продуктивність нескінченно мала: .
- для виробництва необхідні всі фактори: .
Населення зростає з постійним темпом : . У кожному періоді живе молодих та літніх індивідів. Сукупне споживання дорівнює[13]:
- де — споживання працюючого покоління, — споживання покоління, що вийшло на пенсію.
Молодий індивід пропонує одну одиницю праці (пропозиція праці нееластична) і отримує натуральну заробітну плату (деякою кількістю єдиного виробленного товару, гроші відсутні). Кожен індивід обирає і розподіляє отримане між споживанням зараз (у молодості) або заощадженням (споживанням у старості), максимізуючи міжчасову корисність своїх витрат, яка описується наступною функцією[14]:
- де — еластичність заміщення за часом, , , — коефіцієнт міжчасової переваги споживача, , .
Функція відповідає умовам і умовам Інади (при споживанні, що прагне до нуля, гранична корисність прагне нескінченності; при споживанні, що прагне нескінченності, гранична корисність прагне нуля): .
Спочатку весь капітал перебуває у літніх, вони його повністю витрачають протягом першого періоду. Заощадження дорівнюють інвестиціям, які робить молоде покоління. Інвестиції своєю чергою дорівнюють капіталу в наступному періоді[6][15]:
- де — заощадження в розрахунку на одного працівника.
Для пошуку рішення моделі використовуються питомі показники: випуск на одиницю ефективної праці , капітал на одиницю ефективної праці [16].
Мета споживача ред.
Споживач максимізує міжчасову корисність своїх витрат. Оскільки, згідно з моделлю, індивід працює тільки молодим (у першому періоді), міжчасове бюджетне обмеження споживача відповідає формулі[17]:
Таким чином, мета споживача має такий вигляд:
за умови:
де — реальна заробітна плата в періоді .
Для вирішення цього завдання складається функція Лагранжа і знаходиться її максимум[17].
Умови максимуму:
Результатом розв'язання цієї системи рівнянь є норма заощаджень для періоду [15]:
Мета фірми ред.
Фірма максимізує свій прибуток . Випуск фірми описується неокласичною виробничою функцією[18]:
- , де
Мета фірми виглядає так:
В умовах досконалої конкуренції рішення завдання фірми призводить до того, що плата за працю (заробітна плата) та плата за капітал (відсоткова ставка) дорівнюють відповідним граничним продуктивностям[19][18]:
Загальна економічна рівновага ред.
Згідно передумов моделі: . Звідки з урахуванням вирішення завдань споживача та фірми, отримуємо[19]:
Оскільки входить як у праву, так і у ліву частини рівняння, знайти явні рішення цього рівняння можливо лише запровадивши додаткові припущення. За умови, що споживання у першому періоді та споживання у другому періоді є досконалими замінниками, тоді рівновага існує. Якщо при цьому заощадження монотонно зростають за процентною ставкою ( ), то ця рівновага є єдиною.
Якщо позначити , де — заощадження в розрахунку на одиницю праці з постійною ефективністю в період , тоді рівняння набуде вигляду[20]:
Звідки можливо вивести динаміку капіталоозброєності[20]:
Як результат можливо отримати два варіанти фазової площини[ru] (див. ілюстрації). У першому варіанті крива виходить з початку координат під кутом більше за 45° (вище лінії ), тоді в моделі буде непарна кількість рівноважних станів (точки перетину та ), з яких перетини, непарні по порядку від початку координат (перший, третій, п'ятий, тощо), будуть стійкими рівновагами, а які йдуть парними (другий, четвертий, тощо) — нестійкими.
У другому варіанті крива виходить з початку координат під кутом меншим за 45° (нижче лінії ), тоді в моделі буде парна кількість рівноважних станів, з яких перетини, парні від початку координат (другий, четвертий, тощо), будуть стійкими рівновагами, а непарні (перший, третій, тощо) — нестійкими[21].
Рівновага для виробничої функції Кобба-Дугласа та логарифмічної функції корисності ред.
Наочно досягнення рівноваги продемонструється у разі логарифмічної функції корисності та виробничої функції Кобба-Дугласа. В цьому випадку , а корисність витрат для індивіда описується функцією[22]:
Випуск описується функцією:
Тоді, норма заощаджень дорівнює: , а стійкий рівень капіталоозброєності (у цьому випадку існує лише один рівноважний стан) дорівнює[22][23]: .
Процес досягнення рівноваги на фазовій площині для цього випадку показано на ілюстрації.
Стійкий рівень випуску на одиницю праці з постійною ефективністю у цьому випадку становить:
Як і в моделях Солоу та Рамсея — Каса — Купманса, споживання максимальне у тому випадку, якщо . Таким чином, у моделі можлива динамічна неефективність (надлишкове накопичення капіталу), в тому випадку, якщо[24]:
Конвергенція ред.
Модель передбачає наявність умовної конвергенції, тобто, що країни з малим рівнем капіталоозброєності зростатимуть вищими темпами, ніж країни із великим рівнем капіталоозброєності, за умови, що стійкий рівноважний стан у них однаковий. Окремий випадок з виробничою функцією Кобба — Дугласа та логарифмічною корисністю дозволяє оцінити, наскільки швидко конвергенція відбувається. Швидкість наближення до стану стійкої рівноваги оцінюють за допомогою лінійної апроксимації в залежності від за допомогою розкладання в ряд Тейлора[25]:
Якщо позначити похідну у точці рівноваги , тоді шляхом рекурентних замін виходить наступне рівняння наближення до рівноважного стану:
Для цього випадку, тому:
Таким чином, у розглянутому випадку швидкість конвергенції безпосередньо залежить від — частки доходу на капітал у загальному доході. Чим менша частка доходу на капітал (тобто, чим більша частка праці у вигляді заробітної плати, що можливо за умови малої капіталоозброєності), тим швидше відбувається рух до рівноважного стану, і тим швидше бідні країни наздоганяють багатих[9].
Фіскальна політика в моделі ред.
Модель дозволяє оцінити вплив фіскальної політики на рівновагу. В рамках моделі збільшення податків і державних витрат призводить до рівноваги з меншим рівнем капіталоозброєності, випуску та споживання. Вплив бюджетно-податкової політики показано на діаграмі. Крива зсувається вниз на розмір податків (державних витрат) на одиницю ефективної праці. Сума податків передбачається рівною розміру державних витрат ( ), що не впливає на корисність індивідів та майбутній випуск. Рівновага зсувається з точки (стійка рівновага) до точки (стійка рівновага), і встановлюється на нижчому рівні капіталоозброєності та споживання. З'являється третя рівноважна точка , яка є нестійкою рівновагою. Рівність Рікардо — Барро[ru] не виконується[6][26]. Таким чином, в моделі державні витрати витісняють як споживання, і інвестиції[27].
Переваги, недоліки та подальший розвиток моделі ред.
Одним із суттєвих недоліків моделі є повна відсутність альтруїстичних зв'язків між поколіннями[28]. Щоб подолати цей недолік, Джеймс Андреоні[ru], а також Роберт Барро та Хав'єр Сала-і-Мартін[ru] запропонували ввести в функцію корисності витрат кожного індивіда корисність витрат його дітей з деяким коефіцієнтом[29][4]. Така модель перетворюється на дискретний аналог моделі Рамсея — Касса — Купманса для випадку, коли . Динамічна неефективність стає неможливою, а наслідки бюджетно-податкової політики відповідають рівністі Рікардо — Барро[ru]. Однак у цьому випадку з'являються і недоліки моделі Рамсея — Касса — Купманса: втрачається можливість недосконалості ринку (динамічної неефективності), а значить, модель перестає пояснювати причини, що призводять до неоптимальної за Парето рівноваги в економіці[26].
Пол Самуельсон використав цю модель для дослідження впливу розподільної (солідарної) пенсійної системи на загальну економічну рівновагу. В роботі робиться висновок: якщо в економіці встановилась динамічно неефективна рівновага з надлишковим накопиченням капіталу, то розподільна пенсійна система дозволяє перейти до оптимальнішого розподілу ресурсів з вищим споживанням[30][31]. Якщо ж використовується накопичувальна пенсійна система, то економічна рівновага залишається незмінною[32].
Модифікація моделі з безперервним часом, в якій життя індивіда має деяку тривалість, але не поділяється на періоди молодості та старості, проте індивід може померти будь-якої миті з деякою ймовірністю, була розроблена Менахемом Яарі[ru][33] та Олів'є Бланшаром[34]. Через те, що в цій модифікації ймовірність смерті індивіда не змінюється з віком, вона отримала назву «модель вічної молодості»[35]. У ній існує єдине рівноважне значення капіталоозброєності, яке при цьому стійке, і так само, як переважно варіанті, є можливість надлишкового накопичення в точці рівноваги[36].
В цілому, модель перетинних поколінь більш реалістично описує загальну економічну рівновагу та процес її досягнення, ніж моделі Солоу або Рамсея — Касса — Купманса[26]. Перевагою моделі є можливість динамічної неефективності, однак у моделі вона пов'язана з надлишковим накопиченням капіталу, яке не є типовою проблемою країн, що розвиваються, навпаки, у них зазвичай спостерігається недостатність капіталу[37]. До того ж, модель передбачає наявність умовної конвергенції, що означає зростання бідних країн швидше за багатих за умови схожості структурних параметрів. Але в реальності цього не відбувається, як показали, наприклад, дослідження Р. Холла[ru] та Ч. Джонса[ru][38], Дж. Де Лонга[39], П. Ромера[40]. Також, як і в моделях Солоу і Рамсея — Касса — Купманса, науково-технічний прогрес у моделі перетинних поколінь не є наслідком прийняття рішень економічними агентами, а задається екзогенно. Тому, попри всі свої переваги, модель не дає відповіді на питання, чому одні країни багаті, а інші — бідні, і чому другі не можуть наздогнати перших[37].
Примітки ред.
- ↑ а б Аджемоглу, 2018, с. 501.
- ↑ а б Туманова, Шагас, 2004, с. 252.
- ↑ Samuelson, 1958.
- ↑ а б Барро, Сала-и-Мартин, 2010, с. 252.
- ↑ Ромер Д., 2014, с. 110.
- ↑ а б в г Diamond, 1965.
- ↑ Туманова, Шагас, 2004, с. 252—256.
- ↑ Аджемоглу, 2018, с. 501—505.
- ↑ а б Туманова, Шагас, 2004, с. 264.
- ↑ Туманова, Шагас, 2004, с. 187.
- ↑ Аджемоглу, 2018, с. 36—47.
- ↑ Туманова, Шагас, 2004, с. 256.
- ↑ Аджемоглу, 2018, с. 505.
- ↑ Аджемоглу, 2018, с. 509.
- ↑ а б Туманова, Шагас, 2004, с. 255.
- ↑ Аджемоглу, 2018, с. 91.
- ↑ а б Туманова, Шагас, 2004, с. 254.
- ↑ а б Аджемоглу, 2018, с. 506.
- ↑ а б Туманова, Шагас, 2004, с. 257.
- ↑ а б Туманова, Шагас, 2004, с. 258.
- ↑ Туманова, Шагас, 2004, с. 260.
- ↑ а б Туманова, Шагас, 2004, с. 262.
- ↑ Аджемоглу, 2018, с. 513.
- ↑ Туманова, Шагас, 2004, с. 265.
- ↑ Туманова, Шагас, 2004, с. 263.
- ↑ а б в Туманова, Шагас, 2004, с. 271.
- ↑ Туманова, Шагас, 2004, с. 267.
- ↑ Туманова, Шагас, 2004, с. 268.
- ↑ Andreoni, 1989.
- ↑ Samuelson P., 1975.
- ↑ Аджемоглу, 2018, с. 522.
- ↑ Аджемоглу, 2018, с. 520.
- ↑ Yaari, 1965.
- ↑ Blanchard, 1985.
- ↑ Аджемоглу, 2018, с. 544.
- ↑ Аджемоглу, 2018, с. 539.
- ↑ а б Аджемоглу, 2018, с. 542.
- ↑ Hall, Jones, 1996.
- ↑ De Long, 1988.
- ↑ Romer P. M., 1989.
Література ред.
- Дарон Аджемоглу. Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 = Introduction to Modern Economic Growth (2009). — М. : Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 928 с. — ISBN 978-5-7749-1262-9.
- Модель пересічних поколінь Самуельсона — Даймонда // Макроекономіка.
- Роберт Барро, Хав'єр Сала-і-Мартін[ru]. Экономический рост / Пер. с англ. — М. : Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4.
- Олів'є Бланшар, Стенлі Фішер[ru]. Лекции по макроэкономике = Lectures on macroeconomics. — М. : Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2014. — 680 с. — ISBN 978-5-7749-0829-5.
- Девід Ромер[ru]. Высшая макроэкономика = Advanced Macroeconomics. — М. : Издательский дом ВШЭ, 2014. — 855 с. — ISBN 978-5-7568-0406-2.
- Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М. : ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — ISBN 5-1600-1864-6.
- James Andreoni[en]. Giving with Impure Altruism: Applications to Charity and Ricardian Equivalence // Journal of Political Economy[en]. — 1989. — Т. 97, № 6 (22 квітня). — С. 1447—1458. — DOI: .
- Олів'є Бланшар. Debt, Deficits and Finite Horizons // Journal of Political Economy[en]. — 1985. — Т. 93, № 2 (22 квітня). — С. 223—247. — DOI: .
- De Long J. B. Productivity Growth, Convergence, and Welfare: Comment // The American Economic Review. — 1988. — Т. 78, № 5 (22 квітня). — С. 1138—1154.
- Пітер Артур Даймонд. National Debt in Neoclassical Growth Model // The American Economic Review. — 1965. — Т. 55, № 5 (22 квітня). — С. 1126—1150.
- Р. Холл[ru], Ч. Джонс[ru]. The Productivity of Nations // NBER Working Paper. — 1996. — № 5812 (22 квітня). — DOI: .
- Пол Ромер. Human Capital And Growth: Theory and Evidence // NBER Working paper. — 1989. — № 3173 (22 квітня). — DOI: .
- Пол Семюельсон. An exact Consumption-Loan Model of Interest with or without the Social Contrivance of Money // Journal of Political Economy[en]. — 1958. — Т. 66, № 6 (22 квітня). — С. 467—482. — DOI: .
- Пол Семюельсон. Optimum Social Security in a Life-Cycle Growth Model // International Economic Review[en]. — 1975. — Т. 16, № 3 (22 квітня). — С. 539—544. — DOI: .
- Менахем Яарі[ru]. Uncertain Lifetime, Life Insurance, and the Theory of the Consumer // The Review of Economic Studies[en]. — 1965. — Т. 32, № 2 (22 квітня). — С. 137—150. — DOI: .
Ця стаття належить до добрих статей української Вікіпедії. |