Многовид Фреше

У математиці, зокрема в нелінійному аналізі, многовид Фреше — це топологічний простір, змодельований на основі простору Фреше, приблизно таким же чином, як многовид моделюється на основі евклідового простору .

А саме, многовид Фреше є гаусдорфовим простором $X$ з атласом координатних карт над просторами Фреше, переходи яких є гладкими відображеннями. Таким чином $X$ задається відкритим покриттям $\left\{U_{\alpha }\right\}_{\alpha \in I},$ і набором гомеоморфізмів $\phi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to F_{\alpha }$ на їхні образи, де $F_{\alpha }$ є простори Фреше, такі, що відображення переходу між картами

$\phi _{\alpha \beta }:=\phi _{\alpha }\circ \phi _{\beta }^{-1}|_{\phi _{\beta }\left(U_{\beta }\cap U_{\alpha }\right)}$

є гладкими для всіх пар індексів $\alpha$, $\beta .$

Класифікація з точністю до гомеоморфізму

У загальному випадку не вірно, що скінченновимірний многовид розмірності $n$ є глобально гомеоморфним $\mathbb {R} ^{n}$, чи навіть відкритій підмножині $\mathbb {R} ^{n}.$ Однак у нескінченномірному світі можна класифікувати деякі многовиди Фреше з точністю до гомеоморфізму. Теорема Девіда Хендерсона 1969 року стверджує, що кожен нескінченновимірний сепарабельний метричний многовид Фреше $X$ може бути вкладений як відкрита підмножина нескінченномірного сепарабельного гільбертового простору $H$ (існує лише один такий простір з точністю до лінійного ізоморфізму).

Гомеоморфізм вкладення можна використовувати як глобальну карту для $X.$ Таким чином, для нескінченновимірного сепарабельного метричного випадку з точністю до гомеоморфізму «єдиними» топологічними многовидами Фреше є відкриті підмножини нескінченновимірного сепарабельного гільбертового простору. У випадку диференційовних або гладких многовидів Фреше (з точністю до відповідного поняття дифеоморфізму) така класифікація відсутня.

Див. також

• Банахів простір
• Гільбертів простір
• Похідна Гато
• Похідна Фреше

Література

• Hamilton, Richard S. (1982). The inverse function theorem of Nash and Moser. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 7 (1): 65—222. doi:10.1090/S0273-0979-1982-15004-2. ISSN 0273-0979. MR656198
• Henderson, David W. (1969). Infinite-dimensional manifolds are open subsets of Hilbert space. Bull. Amer. Math. Soc. 75 (4): 759—762. doi:10.1090/S0002-9904-1969-12276-7. MR0247634