Похідна Фреше

Похідна́ Фреше́ — узагальнення поняття похідної на випадок нормованих просторів. Названа на честь французького математика Моріса Фреше.

Визначення

Нехай X та Y — лінійні нормовані простори, а G — відкрита множина простору X. Відображення (функція, оператор) $f:G\rightarrow Y$ називається диференційовним за Фреше в точці $x\in G$, якщо існує лінійний неперервний оператор $L_{x}:X\rightarrow Y$, такий що для довільного $h\in X$, що задовольняє умові $x+h\in G$

$\Delta f=f(x+h)-f(x)=L_{x}h+\omega (x,h)$,

де ${\frac {\omega (x,h)}{\parallel h\parallel }}\rightarrow 0$ при $h\rightarrow 0$ в розумінні збіжності по нормі в просторі Y.

Головна частина $L_{x}h$, що лінійно залежить від h та приросту $\Delta f$ називається диференціалом Фреше відображення f в точці х і позначається $df(x,h)$, а вираз $\omega (x,h)$ називається залишком приросту.

Лінійний оператор $L_{x}$ називається похідною Фреше відображення f в точці х і позначається $f^{'}(x)$.

Властивості

Нехай $f,g:G\rightarrow Y$ — відображення нормованих просторів і $\in G$. Похідна Фреше задовольняє такі властивості:

• $(f+g)'(\varphi )=A'(\varphi )+B'(\varphi )$
• $(\lambda f)'(\varphi )=\lambda f'(\varphi )$, де λ — деякий скаляр з поля над яким визначені нормовані простори.
• $(f\circ g)'(\varphi )=(f'\circ g)(\varphi )\,g'(\varphi )$.

Див. також

• Похідна Гато

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Фреше производная. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 5. Советская энциклопедия, 1984.