Симетричний многочлен
Симетричний многочлен — многочлен від n змінних , що не змінюється при всіх перестановках змінних. Тобто многочлен від n змінних над комутативним кільцем R є симетричним якщо для довільної перестановки
справедлива рівність:
Симетричні многочлени утворюють підалгебру R-алгебри многочленів від n змінних над кільцем R.
Приклади ред.
Для двох змінних x1, x2 прикладами симетричних многочленів є:
для трьох змінних x1, x2, x3 наступний многочлен теж буде симетричним
Наступний многочлен буде симетричний для довільного n:
Натомість многочлен:
не є симетричним, оскільки після перестановки x1 і x2 одержується не рівний вихідному многочлен, x2 − x1.
Для трьох змінних прикладом несиметричного многочлена є:
Особливі види симетричних многочленів ред.
Степеневі симетричні многочлени ред.
Степеневими симетричними многочленами називаються суми k — их степенів змінних, тобто:
Елементарні симетричні многочлени ред.
Елементарні симетричні многочлени мають вигляд:
і так далі до
Для довільного многочлена можна записати:
Елементарні симетричні многочлени є алгебраїчно незалежними, тобто для будь-якого n > 0 не існує такого ненульового многочлена P від n змінних, що
Тотожності Ньютона ред.
Між степеневими і елементарними функціями існує залежність:
Для перших кільком многочленів рівності мають вигляд:
Звідси також можна навпаки визначити степеневі симетричні функції через елементарні:
Теорема Вієта ред.
Однією з причин широкого застосування елементарних симетричних многочленів є теорема Вієта: Нехай P — многочлен із коефіцієнтами з деякого поля старшим коефіцієнтом рівним одиниці. У своєму алгебраїчному замиканні цей многочлен має кількість коренів рівну його степеню (з урахуванням кратності коренів) і можна записати:
тоді коефіцієнти P виражаються через елементарні симетричні многочлени від його коренів. А саме:
Фундаментальна теорема про симетричні многочлени ред.
Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Тоді довільний симетричний многочлен від n змінних з коефіцієнтами з R, може бути записаний як многочлен від змінних з коефіцієнтами з R.
Доведення ред.
Для симетричного многочлена визначимо T = Th як множину усіх наборів чисел для яких коефіцієнт в не рівний нулю. Визначимо розмір h, як де є елементом T для якого є найбільшим з можливих, — найбільше з можливих при даному і т. д. Оскільки є симетричним, то якщо і тільки якщо кожна перестановка належить T. Звідси випливає, що . З використанням введеного поняття розміру всі елементи можна впорядкувати: якщо h1 має розмір і h2 має розмір тоді h1 > h2 якщо для деякого виконується і Елементи що мають розмір (0, 0, …, 0) є константами, тобто елементами R.
Припустимо що є розміром деякого симетричного многочлена . Для невід'ємних цілих чисел d1, …, dn, розмір є рівним . Взявши одержуємо, що розмір h рівний . Коефіцієнт при в h рівний одиниці. Звідси випливає, що існує елемент такий, що g − ah має менший розмір ніж g.
Як наслідок для довільного симетричного існують і такі, що має розмір (0, 0, …, 0). Це завершує доведення теореми.
Див. також ред.
Джерела ред.
- Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2 изд. — М. : Наука, 1973. — 400 с.(рос.)
- Прасолов В. В. Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.(рос.)
- Smith, Larry (1995), Polynomial invariants of finite groups, Research notes in mathematics, т. 6, AK Peters, ISBN 9781568810539
- M. Filaseta Algebraic number theory. Instructors notes