Користувач:Leox UA/Локально нільпотентні дифереціювання

Диференціювання $\partial$ комутативного кільця $A$ називається локально нільпотентним диференціюванням (LND) якщо кожен елемент $A$ анігілюється деяким степенем $\partial$.

Однією з мотивацій для вивчення локально нільпотентних диференціювань є той факт, що деякі з контрприкладів до 14-ї проблеми Гільберта отримані як ядра диференціювань на поліноміальному кільці.

Над полем $k$ характеристики нуль, щоб задання локально нільпотентного диференціювання в інтегральній області $A$, скінченно породжений над полем, еквівалентне дії адитивної групи $(k,+)$ до афінного многовиду $X=\operatorname {Spec} (A)$ . Грубо кажучи, афінний многовид, що допускає «велику кількість» дій адитивної групи, вважається подібним до афінного простору. ]

Означення

Нехай $A$ кільце . Нагадаємо, що диференціювання кільця $A$ це відображення $\partial \colon \,A\to A$ яке задовольняє правило Лейбніца $\partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)$ для будь-яких $a,b\in A$ . Якщо $A$ є алгеброю над полем $k$, вимагаємо додатково $\partial$ бути $k$ -лінійним, отже $k\subseteq \ker \partial$ .

Диференціюваня $\partial$ називається локально нільпотентним диференціюванням (LND), якщо для кожного $a\in A$, існує натуральне число $n$ таке що $\partial ^{n}(a)=0$ .

Якщо $A$ є градуйованим, ми кажемо, що це локально нільпотентне диференціюваня $\partial$ є однорідним (степеня $d$ ) якщо $\deg \partial a=\deg a+d$ для кожного $a\in A$ .

Множина локально нільпотентних диференціювань кільця $A$ позначається $\operatorname {LND} (A)$ . Зверніть увагу, що ця множина не має очевидної структури: вона не є замкнутою ні відносно додавання (наприклад, if $\partial _{1}=y{\tfrac {\partial }{\partial x}}$, $\partial _{2}=x{\tfrac {\partial }{\partial y}}$ потім $\partial _{1},\partial _{2}\in \operatorname {LND} (k[x,y])$ але $(\partial _{1}+\partial _{2})^{2}(x)=x$, тому $\partial _{1}+\partial _{2}\not \in \operatorname {LND} (k[x,y])$ ) ні при множенні на елементи $A$ (наприклад, ${\tfrac {\partial }{\partial x}}\in \operatorname {LND} (k[x])$, але $x{\tfrac {\partial }{\partial x}}\not \in \operatorname {LND} (k[x])$ ). Проте, якщо $[\partial _{1},\partial _{2}]=0$ то із $\partial _{1},\partial _{2}\in \operatorname {LND} (A)$ випливає $\partial _{1}+\partial _{2}\in \operatorname {LND} (A)$ і якщо $\partial \in \operatorname {LND} (A)$, $h\in \ker \partial$ тоді $h\partial \in \operatorname {LND} (A)$ .

Відношення до G_a -дій

Нехай $A$ — це алгебра над полем $k$ характеристики нуль (наприклад, $k=\mathbb {C}$). Тоді існує взаємно однозначна відповідність між локально нільпотентними $k$-похідними на $A$ і діями адитивної групи $\mathbb {G} _{a}$ поля $k$ на афінному многовиді $\operatorname {Spec} A$, наступним чином.

Дія $\mathbb {G} _{a}$ на $\operatorname {Spec} A$ відповідає гомоморфізму $k$-алгебри $\rho \colon A\to A[t]$. Будь-який такий $\rho$ визначає локально нільпотентну похідну $\partial$ алгебри $A$, обчислюючи її похідну при нулі, а саме: $\partial =\epsilon \circ {\tfrac {d}{dt}}\circ \rho ,$ де $\epsilon$ позначає підстановку $t=0$.

Навпаки, будь-яка локально нільпотентна похідна $\partial$ визначає гомоморфізм $\rho \colon A\to A[t]$ за формулою $\rho =\exp(t\partial )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\partial ^{n}.$

Неважко помітити, що спряженим діям відповідають спряжені похідні, тобто якщо $\alpha \in \operatorname {Aut} A$ і $\partial \in \operatorname {LND} (A)$ то $\alpha \circ \partial \circ \alpha ^{-1}\in \operatorname {LND} (A)$ і $\exp(t\cdot \alpha \circ \partial \circ \alpha ^{-1})=\alpha \circ \exp(t\partial )\circ \alpha ^{-1}$

Алгоритм знаходження ядра

Алгебра $\ker \partial$ складається з інваріантів відповідної $\mathbb {G} _{a}$ -дії. Вона алгебраїчно та факторно замкнута в $A$ . Окремий випадок 14-ї проблеми Гільберта запитує, чи $\ker \partial$ скінченно породжена, або, якщо $A=k[X]$, чи фактор $X/\!/\mathbb {G} _{a}$ є афінним. За теоремою скінченності Заріського це вірно, якщо $\dim X\leq 3$ . З іншого боку, це питання вкрай нетривіальне навіть для $X=\mathbb {C} ^{n}$, $n\geq 4$ . для $n\geq 5$ відповідь, загалом, негативна. Випадок $n=4$ відкритий.

Однак на практиці часто буває так що відомо що $\ker \partial$ є скінченно породженим: зокрема, згідно з теоремою Маурера – Вайценбека , це стосується лінійних LND поліноміальної алгебри над полем характеристики нуль (під лінійним ми розуміємо однорідне нульового степеня відносно стандартного градуювання).

Assume $\ker \partial$ is finitely generated. If $A=k[g_{1},\dots ,g_{n}]$ is a finitely generated algebra over a field of characteristic zero, then $\ker \partial$ can be computed using van den Essen's algorithm, as follows. Choose a local slice, i.e. an element $r\in \ker \partial ^{2}\setminus \ker \partial$ and put $f=\partial r\in \ker \partial$. Let $\pi _{r}\colon \,A\to (\ker \partial )_{f}$ be the Dixmier map given by $\pi _{r}(a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\partial ^{n}(a){\frac {r^{n}}{f^{n}}}$. Now for every $i=1,\dots ,n$, chose a minimal integer $m_{i}$ such that $h_{i}\colon =f^{m_{i}}\pi _{r}(g_{i})\in \ker \partial$, put $B_{0}=k[h_{1},\dots ,h_{n},f]\subseteq \ker \partial$, and define inductively $B_{i}$ to be the subring of $A$ generated by $\{h\in A:fh\in B_{i-1}\}$. By induction, one proves that $B_{0}\subset B_{1}\subset \dots \subset \ker \partial$ are finitely generated and if $B_{i}=B_{i+1}$ then $B_{i}=\ker \partial$, so $B_{N}=\ker \partial$ for some $N$. Finding the generators of each $B_{i}$ and checking whether $B_{i}=B_{i+1}$ is a standard computation using Gröbner bases.

Теорема про зрізи

Припустимо, що $\partial \in \operatorname {LND} (A)$ допускає зріз, тобто $s\in A$ такий як $\partial s=1$ . Теорема зрізу стверджує, що $A$ є поліноміальною алгеброю $(\ker \partial )[s]$ і $\partial ={\tfrac {d}{ds}}$ .

Для будь-якого локального зрізу $r\in \ker \partial \setminus \ker \partial ^{2}$ ми можемо застосувати теорему зрізу до локалізації $A_{\partial r}$, і таким чином отримати це $A$ є локально поліноміальною алгеброю зі стандартним похідним. У геометричних термінах, якщо геометричний фактор $\pi \colon \,X\to X//\mathbb {G} _{a}$ є афінним (наприклад, коли $\dim X\leq 3$ за теоремою Заріського ), то він має відкриту підмножину Заріського $U$ таку що $\pi ^{-1}(U)$ є ізоморфним над $U$ до $U\times \mathbb {A} ^{1}$, де $\mathbb {G} _{a}$ діє трансляцією на другий фактор.

Однак загалом це неправда, що $X\to X//\mathbb {G} _{a}$ є локально тривіальним. Наприклад, нехай $\partial =u{\tfrac {\partial }{\partial x}}+v{\tfrac {\partial }{\partial y}}+(1+uy^{2}){\tfrac {\partial }{\partial z}}\in \operatorname {LND} (\mathbb {C} [x,y,z,u,v])$ Тодіі $\ker \partial$ є координатним кільцем сингулярного многовиду, а шари фактор-відображення над особливими точками є двовимірними.

Якщо $\dim X=3$ то $\Gamma =X\setminus U$ є кривою. Щоб описати $\mathbb {G} _{a}$ -дію, важливо розуміти геометрію $\Gamma$ . Припустимо далі, що $k=\mathbb {C}$ і що $X$ є гладким і стяжним (у цьому випадку $S$ також є гладким і стяжним ) і виберіть $\Gamma$ мінімальним (щодо включення). Тоді Каліман довів , що кожна незвідна компонента $\Gamma$ є поліноміальною кривою, тобто її нормалізація ізоморфна $\mathbb {C} ^{1}$ . Крива $\Gamma$ оскільки дія, задана (2,5)-виведенням Фройденбурга (див. нижче ), є об’єднанням двох ліній у $\mathbb {C} ^{2}$, тому $\Gamma$ не може бути невідповідним. Однак існує припущення, що $\Gamma$ завжди піддається стягненню .

Приклади

Стандартні координатні похідні ${\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}$ поліноміальної алгебри $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ є локально нільпотентними. Відповідна $\mathbb {G} _{a}$ - дії є паралельними перенесеннями: $t\cdot x_{i}=x_{i}+t$, $t\cdot x_{j}=x_{j}$ для $j\neq i$ .

Приклад 2 ((2,5)-однорідний доведення Фрейденбурга )

Нехай $f_{1}=x_{1}x_{3}-x_{2}^{2}$, $f_{2}=x_{3}f_{1}^{2}+2x_{1}^{2}x_{2}f_{1}+x^{5}$, і нехай $\partial$ є похідною Якобіана ${\textstyle \partial (f_{3})=\det \left[{\tfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{i,j=1,2,3}}$ . Тоді $\partial \in \operatorname {LND} (k[x_{1},x_{2},x_{3}])$ і $\operatorname {rank} \partial =3$ (Дивись нижче ); тобто, $\partial$ не анігілює жодної змінну. Множина нерухомої точки відповідної $\mathbb {G} _{a}$ - дії дорівнює $\{x_{1}=x_{2}=0\}$ .

Розглянемо $Sl_{2}(k)=\{ad-bc=1\}\subseteq k^{4}$ . Локально нільпотентне похідна $a{\tfrac {\partial }{\partial b}}+c{\tfrac {\partial }{\partial d}}$ його координатного кільця відповідає природній дії $\mathbb {G} _{a}$ на $Sl_{2}(k)$ за допомогою правого множення верхніх трикутних матриць. Ця дія дає нетривіальний $\mathbb {G} _{a}$ - пучок над $\mathbb {A} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ . Проте, якщо $k=\mathbb {C}$ то це розшарування є тривіальним у гладкій категорії

LND алгебри многочленів

Нехай $k$ поле нульової характеристики (за допомогою теореми Камбаяші можна звести більшість результатів до випадку $k=\mathbb {C}$ ) і нехай $A=k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ бути поліноміальною алгеброю.

 

Приклади

'''Теорема Ренчслера''' — Кожне LND кільця <math>k[x_1, x_2]</math> може бути спряжений до <math>f(x_1) \frac{\partial}{\partial x_2}</math> для деякого <math>f(x_1) \in k[x_1]</math>. Цей результат тісно пов'язаний з тим, що кожний автоморфізм аффінної площини є ручним (tame), і не має місця у вищих розмірах.

n = 3 (G_a-дія на афінному 3-просторі)

{{math theorem | name = Теорема Міянісі | math_statement = Ядро кожного нетривіального LND $A=k[x_{1},x_{2},x_{3}]$ є ізоморфним кільцю многочленів у двох змінних; тобто, множина нерухомих точок кожної нетривіальної дії $\mathbb {G} _{a}$ на $\mathbb {A} ^{3}$ є ізоморфною до $\mathbb {A} ^{2}$.

Іншими словами, для кожного $0\neq \partial \in \operatorname {LND} (A)$ існують $f_{1},f_{2}\in A$ такі, що $\ker \partial =k[f_{1},f_{2}]$ (але, на відміну від випадку $n=2$, $A$ не обов'язково є кільцем многочленів над $\ker \partial$). У цьому випадку, $\partial$ є якобієвою похідною: ${\textstyle \partial (f_{3})=\det \left[{\tfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{i,j=1,2,3}}$.

{{math theorem | name = Теорема Зурковського | math_statement = Припустимо, що <math>n=3</math> і <math>\partial\in \operatorname{LND}(A)</math> є однорідним відносно деякого додатного градування <math>A</math> так, що <math>x_1, x_2, x_3</math> є однорідними. Тоді <math>\ker\partial=k[f,g]</math> для деяких однорідних <math>f, g</math>. Крім того,<ref name="Daigle" /> якщо <math>\deg x_{1}, \deg x_{2}, \deg x_{3}</math> є взаємно простими, то <math>\deg f, \deg g</math> також є взаємно простими.<ref>{{cite journal|last1=Zurkowski|first1=V.D.|title=Locally finite derivations.|url=http://www.math.ru.nl/~maubach/Research/zurkowski.pdf}}</ref><ref name="Freudenburg" />}} Шаблон:Math theorem

Шаблон:Math theorem</ref>     

Трикутні виведення

Нехай $f_{1},\dots ,f_{n}$ будь-яка система змінних $A$ ; тобто, $A=k[f_{1},\dots ,f_{n}]$ . Диференціювання на $A$ називається трикутним відносно цієї системи змінних, якщо $\partial f_{1}\in k$ і $\partial f_{i}\in k[f_{1},\dots ,f_{i-1}]$ для $i=2,\dots ,n$ . Диференціювання називається триангульо́вним, якщо воно спряжена до трикутного диференціювання, або, що те саме, якщо воно трикутна відносно деякої системи змінних. Кожне трикутне похідне локально нільпотентне. Для $\leq 2$ за теоремою Рентшлера вище, але це не вірно для $n\geq 3$ .

Приклад Баса

Диференціювання $k[x_{1},x_{2},x_{3}]$ задане так$x_{1}{\tfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+2x_{2}x_{1}{\tfrac {\partial }{\partial x_{3}}}$ не є трикутним. Дійсно, множина фіксованих точок відповідної $\mathbb {G} _{a}$ -дії є квадратним конусом $x_{2}x_{3}=x_{2}^{2}$, тоді як за результатом Попова множина нерухомої точки трикутника $\mathbb {G} _{a}$ -дія ізоморфна $Z\times \mathbb {A} ^{1}$ для деякого афінного многоновиду $Z$ ; і тому не може мати ізольовану сингулярність.

 

Інваріант Макара-Ліманова

Перетин ядер усіх локально нільпотентних похідних координатного кільця або, що еквівалентно, кільця інваріантів усіх $\mathbb {G} _{a}$ -дій, називається «інваріантом Макара-Ліманова» і є важливим алгебраїчним інваріантом афінного мноновиду. Наприклад, це тривіально для афінного простору; але для кубічної потрійної форми Кораса–Рассела, яка дифеоморфна $\mathbb {C} ^{3}$, це не так.

Подальше читання

• А. Новіцький, чотирнадцята проблема Гільберта для похідних поліномів

[[Категорія:Диференціальна алгебра]] [[Категорія:Помилки CS1: Сторінки з проігнорованим параметром periodical]] [[Категорія:Сторінки з неперевіреними перекладами]]