Коприєднане представлення

В математиці, коприєднане представлення $\mathrm {Ad} ^{*}$ групи Лі $G$ — це представлення, спряжене до приєднаного. Якщо ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Лі групи $G$, відповідна дія $G$ на просторі ${\mathfrak {g}}^{*}$, спряженому до ${\mathfrak {g}}$, називається коприєднаною дією. З геометричної точки зору воно являє собою дію лівими зсувами на просторі правоінваріантних 1-форм на $G$.

Важливість коприєднаного представлення була підкреслена в роботах А. А. Кирилова, який показав, що ключову роль в теорії представлень нільпотентних груп Лі $G$ відіграє поняття орбіти коприєднаного представлення (К-орбіти). У методі орбіт Кирилова представлення $G$ будуються геометрично, відштовхуючись від К-орбіт. У певному сенсі останні замінюють собою класи спряженості $G$, які можуть бути влаштовані складним чином, у той час як працювати з орбітами порівняно просто.

Означення

Нехай $G$ — група Лі й ${\mathfrak {g}}$ — її алгебра Лі, $\mathrm {Ad} :G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$ — приєднане представлення $G$. Тоді коприєднане представлення $\mathrm {Ad} ^{*}:G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}^{*})$ означається як $\mathrm {Ad} _{g}^{*}:=\left(\mathrm {Ad} _{g^{-1}}\right)^{*}$. Точніше,

$\langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}f,\,X\rangle =\langle f,\,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}X\rangle ,\qquad g\in G,\quad X\in {\mathfrak {g}},\quad f\in {\mathfrak {g}}^{*},$

де $\langle f,X\rangle$ — значення лінійного функціоналу $f$ на векторі $X$.

Нехай $\mathrm {ad} ^{*}$ — представлення алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ в ${\mathfrak {g}}^{*}$, індуковане коприєднаним представленням групи Лі $G$. Тоді для $X\in {\mathfrak {g}}$ $\mathrm {ad} _{X}^{*}=-\left(\mathrm {ad} _{X}\right)^{*}$, де $\mathrm {ad}$ — приєднане представлення алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$. Цей висновок може бути зроблено виходячи з інфінітезимальної форми наведеного вище означального рівняння для $\mathrm {Ad} ^{*}$:

$\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,Y\rangle :=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle \mathrm {Ad} _{\exp(tX)}^{*}f,\,Y\rangle \right|_{t=0}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle f,\,\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}Y\rangle \right|_{t=0}=\langle f,\,-\mathrm {ad} _{X}Y\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g}},\quad f\in {\mathfrak {g}}^{*}$,

де $\exp$ — експоненційне відображення із ${\mathfrak {g}}$ в $G$.

Література

• А. А. Кириллов. Элементы теории представлений. — М. : Наука, 1978. — 343 с.
• Kirillov, A. A., Lectures on the Orbit Method, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 64, American Mathematical Society, ISBN 0821835300, ISBN 978-0821835302