Теорема Лестер

Теорема Лестер - твердження в геометрії трикутника, згідно з яким у будь-якому різнобічному трикутнику дві точки Ферма, центр дев'яти точок і центр описаного кола лежать на одному колі (колі Лестер). Названа ім'ям канадської математикині Джун Лестер (June Lester).

Точки Ферма $X_{13},X_{14}$, центр $X_{5}$ кола дев'яти точок (світло-блакитного), і центр описаного кола $X_{3}$ зеленого трикутника лежать на колі Лестер (чорне).

Доведення

Доведення Гіберта за допомогою гіперболи Кіперта

Теорема про коло Лестер випливає з загальнішого твердження Б. Гіберта (2000), а саме, що будь-яке коло, діаметр якого є хордою гіперболи Кіперта трикутника і перпендикулярний до його прямої Ейлера, проходить через точки Ферма.

Лема Дао на прямокутній гіперболі

Теорема Дао про прямокутну гіперболу

2014 року Дао Танх Оай (Đào Thanh Oai) показав, що результат Гіберта випливає з властивостей прямокутних гіпербол. А саме, нехай точки $H$ і $G$ лежать на одній гілці прямокутної гіперболи $S$, а $F_{+}$ і $F_{-}$ - дві точки на $S$, симетричні відносно її центру (точки-антиподи), в яких дотичні прямі до $S$ паралельні прямій $HG$.

Нехай $K_{+}$ і $K_{-}$ - дві точки на гіперболі, дотичні прямі в яких перетинаються в точці $E$ на прямій $HG$. Якщо пряма $K_{+}K_{-}$ перетинає $HG$ в точці $D$, і перпендикуляр у середині відрізка $DE$ перетинає гіперболу в точках $G_{+}$ і $G_{-}$, то шість точок $F_{+},F_{-},E,F,G_{+},G_{-}$ лежать на одному колі.

Щоб отримати теорему Лестер із цього результату, слід взяти як $S$ гіперболу Кіперта трикутника, як точки $F_{+},F_{-}$ - точки Ферма, точками $K_{+},K_{-}$ будуть внутрішня і зовнішня точки Вектена, точками $H,G$ будуть ортоцентр і центроїд трикутника.

Див. також

• Коло Паррі
• Точка Паррі

Література

• Clark Kimberling. Lester Circle // Mathematics Teacher. — 1996. — Т. 89, вип. 26 (5 липня).
• June A. Lester. Triangles III: Complex triangle functions // Aequationes Mathematicae. — 1997. — Т. 53 (5 липня). — С. 4–35.
• Michael Trott. Applying GroebnerBasis to Three Problems in Geometry // Mathematica in Education and Research. — 1997. — Т. 6 (5 липня). — С. 15–28.
• Ron Shail. A proof of Lester's Theorem // Mathematical Gazette. — 2001. — Т. 85 (5 липня). — С. 225–232.
• John Rigby. A simple proof of Lester's theorem // Mathematical Gazette. — 2003. — Т. 87 (5 липня). — С. 444–452.
• J.A. Scott. On the Lester circle and the Archimedean triangle // Mathematical Gazette. — Т. 89. — С. 498–500.
• Michael Duff. A short projective proof of Lester's theorem // Mathematical Gazette. — Т. 89. — С. 505–506.
• Stan Dolan. Man versus Computer // Mathematical Gazette. — Т. 91. — С. 469–480.

Посилання

• The Lester Circle Details of its discovery.(англ.)
• Lester Circle at MathWorld(англ.)
• Center of the Pohoata-Dao-Moses circles X (5607) and X (5608)(англ.)