Квазілінійна корисність

Квазіліні́йна фу́нкція ко́ри́сності (англ. quasilinear utility function) лінійна за одним зі своїх аргументів, зазвичай — за рахунковими грішми (англ. numeraire). Квазілінійні переваги можна виразити функцією

$u(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+\theta (x_{2},\ldots ,x_{n})$ ,

де $\theta$ є строго увігнутою^:164. Подібна функція має зручну властивість: маршаллівський попит на блага $x_{2},\ldots ,x_{n}$ не залежить від рівня добробуту і, отже, не підпалий ефекту багатства^:165-166. Відсутність ефекту полегшує аналіз^:222, що робить квазілінійну корисність популярним засобом моделювання. Більш того, якщо корисність квазілінійна, то компенсувальна варіація доходу, еквівалентна варіація доходу і споживчий надлишок рівні^:163. В дизайні механізмів квазілінійна корисність дозволяє агентам здійснювати сторонні платежі.

Визначення в термінах переваг

Відношення переваги $\succsim$ квазілінійне за товаром 1, якщо:

• весь множини байдужості утворюються паралельним зміщенням уздовж осі товару 1. Якщо споживач індиферентний між наборами товарів x і y (x~y), то $\left(x+\alpha e_{1}\right)\sim \left(y+\alpha e_{1}\right),\forall \alpha \in \mathbb {R} ,e_{1}=\left(1,0,...,0\right)$;
• товар 1 має додатну корисність: $\left(x+\alpha e_{1}\right)\succ \left(x\right),\forall \alpha >0$

Іншими словами, відношення переваги квазілінійне, якщо існує один товар, який рухає множини байдужості, зберігаючи відстані між точками байдужості і нахил у кожній точці. У двовимірному випадку квазілінійність означає, що криві байдужості паралельні.

Визначення в термінах функцій корисності

Якщо функція корисності квазілінійна за товаром 1, то вона набуває форми

$u\left(x\right)=x_{1}+\theta \left(x_{2},...,x_{L}\right)$,

де $\theta$ є функція. У двовимірному випадку це, наприклад, $u\left(x\right)=x_{1}+{\sqrt {x_{2}}}.$.

Квазілінійна форма характерна для таких функцій попиту, які залежать тільки від цін і не залежать від рівня добробуту. Скажімо, якщо

$u(x,y)=x+\theta (y)$

тоді попит на y виводиться з рівняння

$\theta '(y)=p_{y}$,

так що

$y(p,I)=(\theta ')^{-1}(p_{y}),$,

і цей вираз не залежить від рівня добробуту I.

Непряма функція корисності тоді має вигляд^{:154, 169}

$v(p,I)=v(p)+I,$.

Еквівалентність визначень

Кардиналістський і ординалістський підходи до визначення квазілінійної корисності еквівалентні за опуклості споживчої множини і неперервних перевагах, які локально ненасичувані за першим аргументу.

Див. також

• Квазіопукла функція