Зведена висота

Зведена висота — це відстань, на якій величина зменшується в e (основа натуральних логарифмів, приблизно 2,72) разів. Зазвичай позначається великою літерою H.

У простій моделі атмосферного тиску

Для атмосфер планет зведена висота — збільшення висоти, що відповідає зменшенню атмосферного тиску в e разів. Зведена висота залишається константою для певної температури. Її можна порахувати за формулою:

$H={\frac {kT}{mg}}$

або еквівалентною їй

$H={\frac {RT}{Mg}}$

де:

• k — стала Больцмана, приблизно 1,38 x 10⁻²³ Дж·К⁻¹,
• R — газова стала, приблизно 8,31 Дж/(моль·К),
• T — середня температура атмосфери в кельвінах, 250 К для Землі,
• m — середня маса молекули (кг),
• M — середня молярна маса атмосфери, 29 г/моль для Землі,
• g — прискорення вільного падіння на поверхні планети (м/с²).

Тиск (сила на одиницю площі) для заданої висоти є результатом ваги атмосфери, що лежить вище цієї висоти. Якщо на висоті z атмосфера має густину ρ і тиск P, нескінченно мале збільшення висоти dz зменшить тиск на величину dP, що дорівнює вазі шару атмосфери, товщиною dz.

Таким чином:

${\frac {dP}{dz}}=-g\rho$,

де g — прискорення вільного падіння. Для малого dz можна вважати g константою; знак «мінус» вказує на те, що зі збільшенням висоти тиск зменшується. Отже, використовуючи рівняння стану ідеального газу з середньою молекулярною масою m при температурі T, густину можна записати як

$\rho ={\frac {mP}{kT}}$.

Поєднуючи ці два рівняння, отримуємо

${\frac {dP}{P}}={\frac {-dz}{\frac {kT}{mg}}}$,

яке можна об'єднати з рівнянням для H, наведеним вище:

${\frac {dP}{P}}=-{\frac {dz}{H}}$

яке не змінюється, якщо не змінюється температура. Інтегруючи та покладаючи P₀ — тиск на висоті z = 0 (на рівні моря), отримуємо залежність тиску від висоти z у вигляді:

$P=P_{0}\exp \left(-{\frac {z}{H}}\right)$.

Отже, тиск зменшується експоненційно з висотою.

Для земної атмосфери, тиск на рівні моря P₀ в середньому дорівнює приблизно 1,01×10⁵ Па, середня молекулярна маса сухого повітря 28,964 а. о. м., що відповідає 28,964 × 1,660×10⁻²⁷ = 4,808×10⁻²⁶ кг, і g = 9,81 м/с². Тому зведена висота атмосфери Землі як функція температури 1,38/(4,808×9,81)×10³ = 29,26 м/К. Це дає такі зведені висоти для типових температур повітря:

T = 290 К, H = 8500 м

T = 273 К, H = 8000 м

T = 260 К, H = 7610 м

T = 210 К, H = 6000 м

Ці цифри можна порівняти з температурою та густиною земної атмосфери з NRLMSISE-00, яка показує густину повітря з 1200 г/м³ на рівні моря до 0,5³ = 0,125 г/м³ на висоті 70 км, множник 9600, що означає середню зведену висоту 70/ln(9600) = 7,64 км, відповідає середній температурі повітря на рівні приблизно 260 К.

Зведені висоти атмосфер планет

Нижче наведено наближені значення зведених висот атмосфер для деяких тіл Сонячної системи.

• Венера: 15,9 км
• Земля: 8,5 км
• Марс: 11,1 км
• Юпітер: 27 км
• Сатурн: 59.5 км

• Титан: 40 км

• Уран: 27,7 км
• Нептун: 19,1–20,3 км
• Плутон: ~60 км

Див. також

• Постійна часу