Відкрити головне меню

Дужки Лагранжа — бінарна операція в гамільтоновій механіці, тісно пов'язана з іншою бінарною операцією, дужками Пуассона. Дужки Лагранжа були введені Лагранжем у 1808—1810 роках для математичних виразів у класичній механіці. На відміну від дужок Пуассона, зараз дужки Лагранжа практично не використовуються.

ОзначенняРедагувати

Нехай (q1, …, qn, p1, …, pn) — набір канонічних координат у фазовому просторі. Якщо кожну з них виразити функцією двох змінних, u і v, то в цьому випадку дужки Лагранжа від u та v можна визначити за допомогою формули

 

Ця формула відрізняється від означення дужок Пуассона перестановкою чисельників і знаменників в операторах частинних похідних.

ВластивостіРедагувати

  • Як і дужки Пуассона, дужки Лагранжа є антикомутативними, що очевидно безпосередньо випливає з їхнього означення:
 
  • Дужки Лагранжа не залежать від набору канонічних координат (q, p): наприклад, якщо (Q,P) = (Q1, …, Qn, P1, …, Pn) є іншим набором канонічних координат, причому   — це канонічне перетворення, то дужки Лагранжа є інваріантом цього перетворення в тому сенсі, що
 
Внаслідок цього індекси, що позначають канонічні координати, часто опускаються.
  • Якщо Ω є симплектичним простором у 2n-вимірному фазовому просторі W і u1, …, u2n — набір координат в W, то канонічні координати (q, p) можна виразити за допомогою функцій від координат u, а матриця дужок Лагранжа
 ,
що розглядається в даному випадку як тензор, є компонентами Ω в координатах u. Ця матриця є оберненою до матриці, що утворена дужками Пуассона
 
в координатах u.
  • Як наслідок попередніх властивостей, координати (Q1, …, Qn, P1, …, Pn) в фазовому просторі є канонічними тоді і тільки тоді, коли дужки Лагранжа між ними мають вигляд
 

ЛітератураРедагувати

  • Ланцош К. Вариационные принципы механики = The Variational Principles of Mechanics. — М. : Мир, 1965. — 408 с.
  • Soldatov A. P. Lagrange bracket // Encyclopedia of Mathematics / Hazewinkel, Michiel. — Springer. — ISBN 978-1-55608-010-4.
  • Iglesias P. Les origines du calcul symplectique chez Lagrange // L'Enseign. Math. — 1998. — Т. (2) 44, вип. 3-4. — С. 257–277.MR1659212

ПосиланняРедагувати