Відкрити головне меню

Канонічні перетворення — заміна узагальнених координат та узагальнених імпульсів класичної механічної системи на інші, при якій зберігається вигляд основних рівнянь гамільтонової механіки — рівнянь Гамільтона.

У гамільтоновій механіці стан механічної системи задається узагальненими координатами та імпульсами , які вважаються незалежними змінними, та функцією Гамільтона . Рівняння Гамільтона мають вигляд

При переході до нових змінних та форма запису рівнянь Гамільтона загалом не зберігається. Однак серед усіх таких переходів існує клас, який зберігає рівняння Гамільтона в незмінному вигляді при деякій новій функції Гамільтона . Такі перетворення називаються канонічними.

Зміст

Твірна функціяРедагувати

Рівняння Гамільтона можна отримати з принципу найменшої дії, записаному у вигляді

 

В нових змінних теж повинно виконуватися

 

Рівності нулю варіацій двох виразів можна добитися, якщо ці вирази відрізняються на повний диференціал довільної функції F. Звідси

 ,

або

 .

Тому

 ,

що є системою рівнянь, з яких можна визначити нові змінні через старі.

Фунція F називається твірною функцією канонічного перетворення. Твірну функцію можна вибирати різним чином. У наведених вище виразах вона вибрана залежною від старих і нових координат та часу  . Вибравши твірну функцію можна визначити нові координати, імпульси та нову фунцію Гамільтона, розв'язуючи наведену систему рівнянь.

Твірна функція залежна від старих координат і нових імпульсівРедагувати

Якщо твірна функція залежить від старих координат і нових імпульсів:   система рівнянь для знаходження зв'язку між новими та старими змінними має вигляд:

 

Твірна функція залежна від нових координат і старих імпульсівРедагувати

Система рівнянь для знаходження зв'язку між новими й старими змінними при твірній функції   записується у вигляді

 

Твірна функція залежна від старих і нових імпульсівРедагувати

При твірній функції  , система рівнянь для знаходження зв'язку між старими й новими змінними набуває вигляду

 

Часткові канонічні перетворенняРедагувати

Одним із канонічних перетворень є перетворення, в якому   , а нові координати  . В цьому випадку імпульси й координати наче міняються місцями, різниця між ними втрачається, тому при застосуванні гамільтонової механіки величини q і p часто називають просто канонічно спряженими змінними.

Сам рух можна розглядати, як канонічні перетворення. Якщо в певний момент часу t змінні мали значення   та  , то в момент часу   їхні значення   та   однозначно визначаються початковими умовами і задовольняють тим же рівнянням Гамільтона. Їх можна вибрати новими канонічно спряженими змінними.

ЗастосуванняРедагувати

Канонічні перетворення застосовуються для спрощення задач класичної механіки або ж для побудови зручних способів знаходження наближених розв'язків.

ІсторіяРедагувати

Впреше канонічні перетворення застосував у 1846 році Шарль-Ежен Делоне, розглядаючи задачу про обертання Місяця навколо Землі одночасно з обертанням цих небесних тіл навколо Сонця.

ДжерелаРедагувати

  • Федорченко А. М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.
  • Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М. (1958). Механика. Теоретическая физика, т. 1. Москва: Госиздат. , 206 с.