Гіпоциклоїда

Гіпоцикло́їда (від грецьких слів ὑπό — під, внизу і κύκλος — круг, коло) — плоска крива, що утворюється точкою кола, що котиться по внутрішній стороні іншого кола без проковзування.

Рівняння

Параметричне рівняння:

{\begin{cases}x=r(k-1)\left(\cos t+{\frac {\cos((k-1)t)}{k-1}}\right)\\y=r(k-1)\left(\sin t-{\frac {\sin((k-1)t)}{k-1}}\right)\end{cases}}

де $\textstyle k={\frac {R}{r}}$ , де $R$ — радіус нерухомого кола, $r$ — радіус кола, що котиться.

Доведення

Нехай у початковий момент кола дотикаються в точці А, що лежить на осі OX, де т.О - центр великого кола. Координати т.А при цьому - (kr, 0), де R / r = k. Розглянемо, як змінюються координати т.А, прив'язаної до кола, що котиться (т.А переходить у т.A'). Нехай маленьке коло прокотилося так, що його центр перейшов з т.C в т.C' і повернувся щодо т.O на кут t. По-перше, можна показати, що поворот маленького кола щодо свого центру при цьому (тобто кут між CA і C'A') дорівнює t - kt = - (k-1) t. По-друге, координати т.C' будуть такими: ((k-1) r cos (t), (k-1) r sin (t)). Тоді, знаючи, куди перейде центр кола, що котиться, і на який кут воно повернулося щодо цього центру, можна записати координати т.А':

X = (k-1) r cos (t) + r cos ((k-1) t)

Y = (k-1) t sin (t) - r sin ((k-1) t)

Модуль величини $k$ визначає форму гіпоциклоїди. При $k=2$ гіпоциклоїда є діаметром нерухомого кола, при $k=4$ є Астроїдою.