Гіпоциклоїда

Гіпоцикло́їда (від грецьких слів ὑπό — під, внизу і κύκλος — круг, коло) — плоска крива, що утворюється точкою кола, що котиться по внутрішній стороні іншого кола без проковзування.

Червона крива — гіпоциклоїда: $r=1,0$, $R=3,0$. Для цієї гіпоциклоїди $k=R/r=3$.

Рівняння

Параметричне рівняння:

${\begin{cases}x=r(k-1)\left(\cos t+{\frac {\cos((k-1)t)}{k-1}}\right)\\y=r(k-1)\left(\sin t-{\frac {\sin((k-1)t)}{k-1}}\right)\end{cases}}$

де $\textstyle k={\frac {R}{r}}$, де $R$ — радіус нерухомого кола, $r$ — радіус кола, що котиться.

Доведення  

Нехай у початковий момент кола дотикаються в точці А, що лежить на осі OX, де т.О - центр великого кола. Координати т.А при цьому - (kr, 0), де R / r = k. Розглянемо, як змінюються координати т.А, прив'язаної до кола, що котиться (т.А переходить у т.A'). Нехай маленьке коло прокотилося так, що його центр перейшов з т.C в т.C' і повернувся щодо т.O на кут t. По-перше, можна показати, що поворот маленького кола щодо свого центру при цьому (тобто кут між CA і C'A') дорівнює t - kt = - (k-1) t. По-друге, координати т.C' будуть такими: ((k-1) r cos (t), (k-1) r sin (t)). Тоді, знаючи, куди перейде центр кола, що котиться, і на який кут воно повернулося щодо цього центру, можна записати координати т.А':

X = (k-1) r cos (t) + r cos ((k-1) t)

Y = (k-1) t sin (t) - r sin ((k-1) t)

Модуль величини $k$ визначає форму гіпоциклоїди. При $k=2$ гіпоциклоїда є діаметром нерухомого кола, при $k=4$ є Астроїдою.

Приклади гіпоциклоїд

• 

  k=3 — Дельтоїда

• 

  k=4 — Астроїда

• 

  k=5

• 

  k=6

• 

  k=2,1

• 

  k=3,8

• 

  k=5,5

• 

  k=7,2

Див. також

• циклоїда
• епіциклоїда
• гіпотрохоїда
• Список періодичних функцій

Посилання

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 168,171–173. ISBN 0-486-60288-5. 
• Гіпоциклоїда на Javascript
• Weisstein, Eric W. "Hypocycloid." З сайту MathWorld--A Wolfram Web Resource^{[недоступне посилання з липня 2019]}