При́нцип Га́мільтона — у механіці системи точок означає таке:

Перехід з одного стану в інше за заданий інтервал часу відбувається для системи такого роду так, що перша варіація функціонала

дорівнює нулю: рух системи здійснюється функціями, які серед всіх допустимих рухів роблять згаданий вище інтеграл стаціонарним, тобто рівняння руху системи збігається з рівнянням Ойлера-Лаґранжа для функціонала . При цьому означає кінетичну і / — потенційну енергії системи, а  — функцію Лагранжа. Інтерес тут фокусується в першу чергу на зверненні першої варіації функціонала у нуль, а не на питанні про екстремум. Завдання такого роду також називають варіаційними завданнями.

Принцип Гамільтона є одним із формулювань принципу найменшої дії.

ПрикладРедагувати

Нехай матеріальна точка рухається під впливом сили тяжіння (вільне падіння). При цьому для кінетичної і потенційної енергії мають місце формули:

 

 

(  — маса,   — висота точки до часу  )

Інтеграл для функції Лагранжа:

 

Згідно з принципом Гамільтона рівняння руху системи є рівняння Ейлера-Лаґранжа для функціонала  :

 ,

тобто  

таким чином


 

Це — рівняння руху для вільного падіння.

Відомий з механіки принцип Гамільтона можна перенести і на інші фізичні процеси, так що варіаційні принципи є загальним методом складання рівнянь у математичній фізиці.

Інші завданняРедагувати

Разом із завданнями для функціоналів вигляду

 

існують також і інші постановки завдань.

Як необхідні умови екстремуму указуються тільки рівняння Ойлера-Лаґранжа. Існують і інші необхідні умови, аналогічні приведеним вище.

ЗначенняРедагувати

Варіаційне числення грає основоположну роль в складанні рівнянь механіки і теоретичної фізики. Більшість цих рівнянь можуть бути отримані на основі варіаційного принципу за допомогою поняття енергії.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.