Гамільтонів принцип

При́нцип Га́мільтона — у механіці системи матеріальних точок означає таке:

Перехід з одного стану в інший за заданий інтервал часу $[t_{0},t_{1}]$ відбувається для системи такого роду так, що перша варіація функціонала

I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(T-U){dt}

дорівнює нулю: рух системи здійснюється функціями, які серед всіх допустимих рухів роблять згаданий вище інтеграл стаціонарним, тобто рівняння руху системи збігається з рівнянням Ойлера-Лаґранжа для функціонала $I$ . При цьому $T$ означає кінетичну, а $U$ — потенційну енергії системи, а $L=T-U$ — функцію Лагранжа. Інтерес тут фокусується в першу чергу на зверненні першої варіації функціонала $I$ у нуль, а не на питанні про екстремум. Завдання такого роду також називають варіаційними завданнями.

Принцип Гамільтона є одним із формулювань принципу найменшої дії.

Приклад ред.

Нехай матеріальна точка рухається під впливом сили тяжіння (вільне падіння). При цьому для кінетичної і потенційної енергії мають місце формули:

T={\frac {m\cdot y'^{2}}{2}}

U=m\cdot g\cdot y

( $m$ — маса, $y(t)$ — висота точки до часу $t_{0}$ )

Інтеграл для функції Лагранжа:

I(y)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(T-U)dt=m{\int _{t_{0}}^{t_{1}}({y'}^{2}/2+{gy}){dt}}

Згідно з принципом Гамільтона рівняння руху системи є рівняння Ейлера-Лаґранжа для функціонала $I(y)$ :

$mg-m{\frac {dy'}{dt}}=0$ ,

тобто $y''=g$

таким чином

y(t)=C_{1}+C_{2}t+{\frac {g\cdot t^{2}}{2}}

Це — рівняння руху для вільного падіння.

Відомий з механіки принцип Гамільтона можна перенести і на інші фізичні процеси, так що варіаційні принципи є загальним методом складання рівнянь у математичній фізиці.

Інші завдання ред.

Разом із завданнями для функціоналів вигляду

I(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x,y,y')dx

існують також і інші постановки завдань.

Як необхідні умови екстремуму указуються тільки рівняння Ойлера-Лаґранжа. Існують і інші необхідні умови, аналогічні приведеним вище.

Значення ред.

Варіаційне числення грає основоположну роль в складанні рівнянь механіки і теоретичної фізики. Більшість цих рівнянь можуть бути отримані на основі варіаційного принципу за допомогою поняття енергії.

Див. також ред.

Література ред.

Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.