Валюація

Валюація — узагальнення поняття міри, зазвичай визначається на опуклих множинах евклідового простору.

Визначення

Нехай $K^{n}$ — клас усіх непорожніх компактних опуклих множин $\mathbb {R} ^{n}$. Валюація на $K^{n}$ це функція $v:K^{n}\to \mathbb {R}$ така, що рівняння

$v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)$

виконується для будь-яких $S,T\in K^{n}$ таких, що $S\cup T\in K^{n}$,

Зауваження

• Валюація називається неперервною, якщо вона неперервна відносно метрики Гаусдорфа.
• Валюація називається інваріантною відносно рухів, якщо для будь-якого руху φ і будь-якого $S\in K^{n}$виконується

  $v(S)=v(\phi (S))$

Приклади

Середня поперечна міра

$k$-а середня поперечна міра $W_{k}(S)$ тіла $S\in K^{n}$ визначається як середня $k$-вимірна площа проєкцій $S$ на $k$-вимірні площини.

Зокрема,

• $W_{n}(S)$ — об'єм $S$,
• $W_{n-1}(S)$ — пропорційна площі поверхні $S$.
• $W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Валюація Дірака

Валюація Дірака $\delta _{x}$ точки $x$ визначається як

$\delta _{x}(U)={\begin{cases}0&{\text{якщо}}~x\notin U\\1&{\text{якщо}}~x\in U\end{cases}}$

Властивості

• Теорема Гадвіґера: будь-яку неперервну валюацію, інваріантну відносно рухів, можна подати у вигляді лінійної комбінації поперечних мір.
• Будь-яка валюація на цілих багатогранниках, інваріантна відносно цілих зсувів і $\mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )$, виражається як лінійна комбінація коефіцієнтів многочлена Ергарта.

Література

• Семён Алескер. Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах [Архівовано 25 квітня 2021 у Wayback Machine.]. Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа «Алгебра и геометрия» 25—31 июля, 2014 Ярославль