Теорема Гадвіґера
Теорема Гадвіґера характеризує неперервні валюації на опуклих тілах в евклідовому просторі, інваріантні відносно рухів. Доведена Гуго Гадвіґером.
Вступ
ред.Валюації
ред.Нехай — клас усіх непорожніх компактних опуклих множин . Валюація на це функція така, що рівняння
виконується для будь-яких таких, що ,
При цьому
- Валюація називається неперервною, якщо вона неперервна відносно метрики Гаусдорфа.
- Валюація називається інваріантною відносно рухів, якщо для будь-якого руху φ і будь-якого виконується
Середня поперечна міра
ред.-а середня поперечна міра тіла визначається як середня -вимірна площа проєкцій на -вимірні площини.
Зокрема,
- — об'єм ,
- — пропорційна площі поверхні .
Формулювання
ред.Будь-яку неперервну валюацію v на Kn, інваріантну відносно рухів, можна подати у вигляді
Наслідок
ред.Будь-яка неперервна валюація v на Kn, інваріантна відносно жорстких рухів і однорідна за степенем j, кратна Wn-j.
Література
ред.- Семён Алескер. Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа «Алгебра и геометрия» 25—31 июля, 2014 Ярославль
- Hadwiger, H. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. — Berlin : Springer, 1957.
- Klain, D.A.; Rota, G.-C. Introduction to geometric probability. — Cambridge : Cambridge University Press, 1997. — ISBN 0-521-59362-X.
- Chen, B. A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem // Geom. Dedicata : journal. — 2004. — Vol. 105 (18 July). — P. 107—120. — DOI: .