Теорема Гадвіґера

Теорема Гадвіґера характеризує неперервні валюації на опуклих тілах в евклідовому просторі, інваріантні відносно рухів. Доведена Гуго Гадвіґером.

Вступ

Валюації

Нехай $K^{n}$ — клас усіх непорожніх компактних опуклих множин $\mathbb {R} ^{n}$. Валюація на $K^{n}$ це функція $v:K^{n}\to \mathbb {R}$ така, що рівняння

$v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)$

виконується для будь-яких $S,T\in K^{n}$ таких, що $S\cup T\in K^{n}$,

При цьому

• Валюація називається неперервною, якщо вона неперервна відносно метрики Гаусдорфа.
• Валюація називається інваріантною відносно рухів, якщо для будь-якого руху φ і будь-якого $S\in K^{n}$виконується

  $v(S)=v(\phi (S))$

Середня поперечна міра

$k$-а середня поперечна міра $W_{k}(S)$ тіла $S\in K^{n}$ визначається як середня $k$-вимірна площа проєкцій $S$ на $k$-вимірні площини.

Зокрема,

• $W_{n}(S)$ — об'єм $S$,
• $W_{n-1}(S)$ — пропорційна площі поверхні $S$.
• $W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Формулювання

Будь-яку неперервну валюацію v на Kⁿ, інваріантну відносно рухів, можна подати у вигляді

$v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}{\cdot }W_{j}(S).$

Наслідок

Будь-яка неперервна валюація v на Kⁿ, інваріантна відносно жорстких рухів і однорідна за степенем j, кратна W_n-j.

Література

• Семён Алескер. Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа «Алгебра и геометрия» 25—31 июля, 2014 Ярославль
• Hadwiger, H. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. — Berlin : Springer, 1957.
• Klain, D.A.; Rota, G.-C. Introduction to geometric probability. — Cambridge : Cambridge University Press, 1997. — ISBN 0-521-59362-X.
• Chen, B. A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem // Geom. Dedicata : journal. — 2004. — Vol. 105 (16 June). — P. 107—120. — DOI:10.1023/b:geom.0000024665.02286.46.