Многочлен Ергарта

Многочленом Ергарта для заданого багатогранника в багатовимірному просторі називається многочлен, значення якого в будь-якій цілій точці $t>0$ збігається з кількістю цілих точок простору (взагалі кажучи, точок будь-якої ґратки), що містяться всередині даного багатогранника, збільшеного в $t$ разів.

Обсяг самого багатогранника (з коефіцієнтом гомотетії $k=1$) дорівнює старшому коефіцієнту многочлена Ергарта, що можна розглядати як варіант багатовимірного узагальнення теореми Піка.

Названі на честь Юджена Ергарта, який вивчав їх у 1960-х роках.

Визначення

Нехай $P$ — багатогранник з цілими вершинами, і $t\cdot P$ — його гомотетія з цілим коефіцієнтом $t$. Позначимо через $L_{P}(t)$ кількість цілих точок $t\cdot P$. Можна довести, що число $L_{P}(t)$ виражається як многочлен від $t$; цей многочлен називають многочленом Ергарта.

Приклади

• $L_{Q}(t)=(t+1)^{d}$ для одиничного цілого $d$-вимірного куба $Q$.

Властивості

• (Взаємність Ергарта — Макдональда) Число внутрішніх цілих точок в $t\cdot P$ дорівнює

  $(-1)^{d}\cdot L_{P}(-t),$

де d — розмірність P.

• Будь-яка валюація на цілих багатогранниках, інваріантна відносно цілих зсувів і $\mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )$, виражається як лінійна комбінація коефіцієнтів многочлена Ергарта.

• Для будь-якого $d$-вимірного багатогранника $P$, три коефіцієнти многочлена Ергарта мають просту інтерпретацію:
  • вільний член многочлена Ергарта дорівнює 1;
  • головний коефіцієнт при $t^{d}$ дорівнює об'єму багатогранника;
  • коефіцієнт при $t^{d-1}$ дорівнює половині суми відношень площ граней до визначника ґратки, одержуваної перетином цілочилових точок із продовженням грані.
• Зокрема, при $d=2$ многочлен Ергарта багатокутника дорівнює

  $S\cdot t^{2}+{\tfrac {\Gamma }{2}}\cdot t+1,$

де $S$ — площа багатокутника, а $\Gamma$ — кількість цілочислових точок на його кордоні. Підставивши $t=1$, отримаємо формулу Піка.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Ehrhart Polynomial(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Г. А. Мерзон. Алгебра, геометрия и анализ сумм степеней последовательных чисел. — Сборник «Математическое просвещение». Третья серия. — 2017. — Вип. 21. — С. 104—118.