Щодо відповідної теореми в комплексномі аналізі див. Лемма Шварца, теорема Шварца—Піка.

i = 7, b = 8, S = i + b2 − 1 = 10
Трикутник з вершинами в нижній лівій, нижній правій, та верхній правій точках i = 12 та b = 14, відповідно до теореми Піка S = i + b2 − 1 = 18; це підтверджує формулі площі для трикутника 12 × основа × висота = 12 × 9 × 4 = 18.

Якщо розглянути простий багатокутник, побудований на сітці рівновіддалених точок (тобто точок з цілі координатами), так, що всі вершини багатокутника є точками сітки, теорема Піка дає просту формулу для обчислення площі цього многокутника, за кількістю (точок решітки усередині фігури) і кількістю (точок решітки), розміщених по периметру многокутника:[1]

У наведеному прикладі маємо i = 7 (внутрішніх точок) і b = 8 (граничних точок), так що площа  = 7 + 82 − 1 = 7 + 4 − 1 = 10 квадратних одиниць.

Вищенаведена теорема справедлива лише для простих багатокутників, тобто для тих, які складаються з єдиної непересічної межі, без дірок. Для загального многокутника формула Піка має такий вигляд:[2][3]

,

де  — кількість вершин всередині і на межі многокутника,  — кількість точок решітки на межі многокутника, і  — кількість дірок у многокутнику.

Як приклад розглянемо багатокутник, побудованний за допомогою точок . Він має 3 вершини, 0 отворів і 0 область. Щоб формула працювала, повинно бути 4 ребра. Таким чином, треба просто порахувати кожен край двічі, один раз на кожній стороні.


Результат вперше описав Георг Александр Пік в 1899.[4] Тетраедр Ріва демонструє, що немає аналоги теореми Піка в розмірності три, яка виражає об'єм багатогранника через кількість внутрішніх і граничних точок. Однак є узагальнення для високих розмірностей через многочлени Ергарта.

ДоведенняРедагувати

Розглянемо багатокутник   і трикутник  , що має з   одне спільне ребро. Припустимо, що теорема Піка справедлива як для  , так і для   незалежно один від одного; ми хочемо показати, що це також справедливо для багатокутника  , отриманого шляхом додавання   до  . Оскільки   і   маю одне спільне ребро, всі граничні точки уздовж цього ребра стають внутрішніми точками, за винятком двох кінцевих точок, які об'єднуються з граничними точками. Отже, якщо   кількість спільних граничних точок, то маємо:[5]

 

і

 

З вищезазначеного випливає:

 

і

 

Оскільки ми припускаємо виконання теореми і для   і для  , то:

 

Тому, якщо теорема справедлива для многокутників побудованих з   трикутників, вона справедлива і для многокутників, що побудовані з n + 1трикутника. Добре відомо, що довільний многокутник можна розбити на симплекси тріангуляція. Це тривіальний факт у випадку площини. Для завершення доведення методом математичної індукції достатньо довести її у випадку трикутників. Перевірку цього випадку здійснюється за допомогою наступних коротких кроків:

  • припускаємо, що формула справедлива для будь-якого одиничного квадрата (з вершинами, що мають цілі координати);
  • на основі цього виводимо, що формула є справедливою для будь-якого прямокутника зі сторонами парелельними осям;
  • отримуємо формулу для прямокутних трикутників, отриманих шляхом розрізання таких прямокутників по діагоналі;
  • тепер будь-який трикутник можна перетворити на прямокутник, приєднавши такі прямокутні трикутники; оскільки формула виконується для прямокутних трикутників і для прямокутника, вона також буде виконуватися для початкового трикутника.

На останньому кроці застосовується той факт, що якщо теорема справедлива для багатокутника   і для трикутника  , то це також має місце для багатокутника  ; це можна побачити на основі обчислень, які подібні до наведених вище.

Нерівність для опуклих множинРедагувати

Нехай   — обмежена, опукла область в  , не обов'язково замкнена. Тоді:

 ,[2]

де   — це набір точок решітки в  , і   — їх кількість. Рівність має місце тоді і лише тоді, коли   — замкнений багатокутник решітки. Для доведення розглянемо опуклий оболонку   для  , яку слід розуміти як наближення решітки для області  , а потім застосуємо до неї теорему Піка:

 

де   — кількість граничних точок  , що дорівнює кількості його ребер, і оскільки кожне ребро має мінімальну довжину 1, то:

 .

Перехід   використовує властивість, що між двома вкладеними, опуклими, замкнутими кривими, внутрішня крива буде коротшою на основі прямого застосування формули Крофтона.

Формула залишається справедливою і у виродженому випадку, коли   знаходиться на одній лінії. Потрібно просто порахувати кожен ребро двічі (по одному разу з кожної сторони).

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  1. Trainin, J. (November 2007). An elementary proof of Pick's theorem 91 (522). с. 536–540. doi:10.1017/S0025557200182270. 
  2. а б Garbett, Jennifer (November 18, 2010). Lattice Point Geometry: Pick's Theorem and Minkowski's Theorem, Senior Exercise in Mathematics. Архів оригіналу за 29 Aug 2017. 
  3. Belyaev, Alexander; Fayolle, Pierre-Alain (2019-08-08). Counting Parallel Segments: New Variants of Pick's Area Theorem (en) 41 (4). с. 1–7. ISSN 0343-6993. doi:10.1007/s00283-019-09921-8. 
  4. Pick, Georg (1899). Geometrisches zur Zahlenlehre. Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" in Prag. (Neue Folge) 19: 311–319.  CiteBank:47270
  5. Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007). Computing the Continuous Discretely: Integer-point enumeration in polyhedra. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-29139-0.