Брахістохрона

Брахістохро́на (грец. βράχιστος — найкоротший і грец. χρόνος — час) — крива найшвидшого спуску, тобто та з усіх можливих кривих, що сполучають дві точки А і В (мал.), вздовж якої важка кулька, що ковзає без тертя (або котиться) з точки А, за найкоротший час досягає нижчої точки В. При відсутності опору середовища. Брахістохрона — звичайна циклоїда з горизонтальною основою і точкою розвороту у верхній точці А. Задача про брахістохрону, розв'язана Й.Бернуллі (1696), відіграла важливу роль у розвитку варіаційного числення.

Постановка математичної задачіРедагувати

Очевидно, закон збереження енергії накладає обмеження на висоту точки В: точка В має знаходитись нижче, або на тій самій висоті що і точка А. Якщо точка В лежить на одній вертикальній прямій з точкою А, то розв'язок задачі очевидний - траєкторія найшвидшого спуску буде відрізок прямої [АВ]. Тому ми будемо розглядати випадок, коли точка В дещо зміщена від точки А по горизонталі.

Виберемо початок координат   в початковій точці А, і направимо вісь абсцис   горизонтально в напрямку кінцевої точки В (допустимо для визначеності малюнка, що ми дивимося на ці точки з таким ракурсом, що точка В знаходиться правіше від точки А), а вісь ординат   вертикально вниз. Очевидно, третя просторова координата повинна дорівнювати нулю на кривій найшвидшого спуску (проекція будь-якої просторової кривої на площину   даватиме менший час спуску).

Оскільки втрати енергії на тертя відсутні, ми можемо записати закон збереження енергії, прийнявши енергію кульки в точці А за нуль:

 

Потенціальна енергія кульки масою   в полі тяжіння дорівнює:

 

Кінетична енергія для кульки що ковзає без обертання (як намистина на дроті) дорівнює:

 

Якщо ж кулька котиться без проковзування, то до кінетичної енергії поступального руху (3) треба ще додати кінетичну енергію обертання:

 

Для суцільної однорідної кульки радіуса   маємо момент інерції  , а тому кінетична енергія дорівнює:

 

Підставивши (2) і (3) в (1), одержуємо рівняння:

 

звідки знаходимо швидкість кульки (що ковзає без обертання) в довільній точці кривої:

 

аналогічно, з (2), (5) і (1) знаходимо швидкість кульки, що котиться:

 

Далі, враховуючи залежність між швидкістю, пройденим шляхом і пройденим часом:

 

Знаходимо, що час руху кульки вздовж кривої від точки А до точки В дається інтегралом (  через вибір системи координат):

 

де постійна   дорівнює відповідно для кульки що ковзає, і для кульки що котиться:

 

Отже, математично задача про брахістохрону формулюється так: нам треба знайти таку невід'ємну функцію, зафіксовану на кінцях:

 

що інтеграл у формулі (10) досягає мінімуму. Зауважимо, що константа   не впливає на розв'язок, а тому ми її опускатимемо аж доки не почнемо цікавитися, чому дорівнює цей мінімальний час спуску.

Шукаємо мінімум функціонала   від функції  , графіком якої є наша крива спуску:

 

Знаходження розв'язкуРедагувати

В точці локального мінімуму функціонала перша варіація функціонала   повинна дорівнювати нулю, а друга варіація   має бути більшою нуля (додатньо визначеною квадратичною формою від варіації аргументної функції  ).

З рівності нулю першої варіації слідує рівняння Ейлера-Лагранжа (дивіться варіаційне числення) для функціонала (13):

 

де лагранжиан   дорівнює функції під інтегралом в (13):

 

З формул (14), (15) ми одержуємо звичайне диференціальне рівняння відносно невідомої функції  :

 

Але перше ніж розв'язувати (16), поглянемо на пошуки кривої з дещо іншої точки зору. А саме, припустимо, що наша крива спуску задана параметрично:

 

параметр   монотонно зростає при переміщенні вздовж нашої кривої, тобто є деякою досить довільною, але монотонно зростаючою функцією часу:

 

Позначаючи крапкою зверху похідну функцій (17) по параметру  , ми можемо переписати функціонал (13) так:

 

Очевидно, що величина інтеграла (19) не зміниться при заміні параметра   на будь-яку іншу зростаючу функцію часу  :

 

Для функціонала (19) ми матимемо два рівняння Ейлера-Лагранжа,  :

 
 

Рівняння (21) і (22) так само, як і породивший їх інтеграл (19), інваріантні щодо заміни параметра  . Очевидно, що рівняння (22) переходить в (16) якщо взяти параметр кривої  . А от рівняння (21) виглядає простішим (зусилля витрачені на розгляд альтернативної точки зору виявилися не марними).

Починаємо розв'язувати звичайне диференціальне рівняння (21). Ми відразу можемо його проінтегрувати:

 

Постійна інтегрування   (однакова для всіх точок нашої шуканої кривої) має бути додатньою, оскільки ми обрали таку систему координат що кінцева точка В має більшу абсцису:  

Перепишемо (23) в іншому вигляді, виконавши алгебраїчні перетворення:

 

В правій частині останнього рівняння стоїть додатній вираз, а тому і вираз у дужках лівої частини повинен бути більшим нуля. Таким чином ордината нашої кривої лежить в межах:

 

Оскільки параметр   в формулі (24) довільний, зафіксуємо залежність ординати від параметра наступною функцією, враховуючи нерівності (25):

 

В початковій точці А кривої маємо  , а тому згідно з формулою (26) покладемо  

Будемо шукати залежність   таку, щоб задовольнити диференціальне рівняння (24):

 

Після алгебраїчних перетворень одержуємо:

 
 

При переході з (27a) до (27b) ми врахували додатність константи інтегрування в формулі (23).

Формулу (27b) легко проінтегрувати, враховуючи початкову умову  :

 

Формули (26) і (28) є рівняннями циклоїди, заданої параметрично. Запишемо ще раз ці два рівняння окремо:

 

Крива (29) є брахістохроною.

Узгодженість розв'язкуРедагувати

В ході розв'язування ми одержали три рівняння Ейлера-Лагранжа: (16), (21) і (22). Але розв'язок ми знайшли лише для рівняння (21). Покажемо, що знайдений розв'язок також задовольняє решту рівняннь (16) і (22).
Очевидно, що рівняння (16) можна одержати, поділивши (22) на  . Тому нам достатньо перевірити, що розв'язок (29) задовольняє (22).
Спершу знайдемо суму квадратів похідних:

 

Підставляючи (30) і (29) в (22), знаходимо:

 
 

Додатність другої варіаціїРедагувати

Попередні обчисленняРедагувати

Запишемо інтеграл другої варіації функціонала (13):

 

Знайдемо коефіцієнти квадратичної форми, враховуючи (15):

 

Нас цікавить значення другої варіації функціонала тільки в точці мінімуму, тобто тільки для кривої, що є брахістохроною. Виразимо коефіцієнти (33) через параматр   циклоїди, скориставшись (29). Спочатку обчислимо:

 

Тепер підставимо (34) в формули (33):

 
 
 

Перша невдала спробаРедагувати

Перевіримо, чи буде підінтегральна функція в (32) додатньо визначеною квадратичною формою. Для цього треба (необхідно і достатньо по критерю Сільвестра), щоб головні мінори матриці квадратичної форми були додатні:

 
 

Підстановка (35) в (38) дає правильну нерівність, але нерівність (39) не виконується з врахуванням формул (35-37):

 

Зокрема, на початку руху по брахістохроні параметр   близький до нуля, косинус близький до одиниці, а тому вираз (40) від'ємний.

Друга спробаРедагувати

Якби варіація   та її похідна   були незалежними і довільними функціями, то ми б дійсно могли підібрати ці функції так щоб в кожній точці   підінтегральний вираз в (32) був від'ємним або нульовим, і таким чином весь інтеграл (32) міг би бути від'єним.

Але насправді між функцією та її похідною є зв'язок. Оскільки на кінцях нашої кривої варіація перетворюється в нуль

 

то ми маємо тотожно:

 

Віднімемо від інтеграла другої варіації (32) тотожність (40), одержимо такий вираз для другої варіації:

 

Покажемо, що підінтегральний вираз в (43) буде додатнім на брахістохроні. Другий доданок буде додатнім внаслідок формули (37). Покажемо тепер, що додатньою буде також перший доданок, обчислимо різницю:

 
 

Отже друга варіація функціонала (13) додатня на брахістохроні, тобто брахістохрона є локальним мінімумом цього функціонала.

ДжерелаРедагувати