Алгебраїчна логіка
Алгебраїчна логіка — частина математичної логіки, викладена алгебраїчним стилем.
Алгебри як моделі логіки ред.
Алгебраїчна логіка використовує алгебраїчні структури, зазвичай обмежені ґратки, як моделі (інтерпретації) певних логік, перетворюючи логіку в частину теорії ґраток.
В алгебраїчній логіці:
- По замовчуванню, для змінних використовується квантор загальності над деяким простором понять. Немає квантора існування чи відкритих формул.
- Вирази утворюються з змінних за допомогою операцій, немає логічних зв'язок.
- Формули утворюються з виразів за допомогою логічної еквівалентності. Для тавтологій, обидві частини формули мають мати однакове логічне значення.
- Правила виводу: підстановка еквівалентностей та заміна змінної. Modus ponens залишається, тільки рідко використовується.
| логічна система | її моделі |
| Класичне числення висловлень | алгебра Лінденбаума—Тарського |
| Інтуіціоністське числення висловлень | алгебра Гейтінга |
| логіка Лукасевича | MV-алгебра |
| модальна логіка K | модальна алгебра |
| S4 | внутрішня алгебра |
| S5; монадна предикатна логіка | монадна Булева алгебра |
| логіка першого порядку | циліндрична алгебра |
| теорія множин | комбінаторна логіка |
Історія ред.
Алгебраїчна логіка почалась з вивчення Булевих алгебр Джоржем Булем та алгебри відношень Авґустусом де Морганом, була розширена Чарльзом Пірсом, та набула закінченого вигляду в роботах Ернста Шредера.
Алгебраїчна логіка пов'язана з теорією моделей, засновниками теорії моделей були Ернст Шредер та Леопольд Льовенгейм, великий внесок також зробили Торальф Сколем та Альфред Тарський
Джерела ред.
- Вілард Квін, 1976, "Algebraic Logic and Predicate Functors" in The Ways of Paradox. Harvard Univ. Press: 283-307.