Центральна симетрія

(Перенаправлено з Центр симетрії)

Центральною симетрією відносно точки називають перетворення простору, яке переводить точку X у таку точку X′, що  — середина відрізка XX′. Центральну симетрію з центром у точці A зазвичай позначають через . Фігуру називають симетричною відносно точки A, якщо для кожної точки фігури точка, симетрична їй відносно точки A, також належить цій фігурі. Точку A називають центром симетрії фігури. Кажуть також, що фігура має центральну симетрію.

Symetria srodkowa1.png

Інша назва цього перетворення — симетрія з центром A. Центральна симетрія в планіметрії є окремим випадком повороту, точніше, є поворотом на 180 градусів.

Векторний записРедагувати

Нехай G — оператор центральної симетрії, точку A задано радіус-вектором  , а перетворювана точка задається радіус-вектором  . Тоді виконується така формула:

 

Пов'язані визначенняРедагувати

  • Якщо фігура переходить у себе при симетрії відносно точки  , то   називають центром симетрії цієї фігури, а саму фігуру називають центрально-симетричною.

ВластивостіРедагувати

 
Композиція двох центральних симетрій
  • Центральна симетрія є рухом (ізометрією).
  • В n-вимірному просторі, якщо перетворення R є послідовним відбиттям відносно n взаємно перпендикулярних гіперплощин, то R — центральна симетрія відносно спільної точки цих гіперплощин. Як наслідок:
  • Центральну симетрію можна подати також як гомотетію з центром A і коефіцієнтом -1 ( ).
  • Композиція двох центральних симетрій — паралельне перенесення на подвоєний вектор з першого центра в другій:
     
  • В одновимірному просторі (на прямій) центральна симетрія є дзеркальною симетрією.
  • На площині (в 2-вимірному просторі) симетрія з центром A є поворотом на 180° із центром A ( ). Центральна симетрія на площині, як і поворот, зберігає орієнтацію.
  • Центральну симетрію в тривимірному просторі можна подати як композицію відбиття відносно площини, що проходить через центр симетрії, з поворотом на 180° відносно прямої, що проходить через центр симетрії і перпендикулярна до згаданої площини відбиття.
  • У 4-вимірному просторі центральну симетрію можна подати як композицію двох поворотів на 180° відносно двох взаємно перпендикулярних площин (перпендикулярних у 4-вимірному сенсі, див. Перпендикулярність площин у 4-вимірному просторі), що проходять через центр симетрії.

У кристалофізиціРедагувати

Центр симетрії в кристалофізиці позначається  .

Кристали з центрами інверсії характерні тим, що в них неможливе існування полярних прямих, тобто прямих із виділеним напрямком. Для цих кристалів усі тензори непарних рангів дорівнюють нулю. Наприклад, у кристалах з центром інверсії неможливе існування спонтанного дипольного моменту, тобто вони не можуть бути сегнетоелектриками.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

ПосиланняРедагувати