Фо́рмула суму́вання А́беля , яку ввів норвезький математик Нільс Генрік Абель , часто застосовується в теорії чисел для оцінення сум скінченних і нескінченних рядів.
Нехай
a
n
{\displaystyle a_{n}}
дійсних або комплексних чисел і
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
неперервно диференційовна на промені
[
1
,
x
)
{\displaystyle [1,x)}
∑
1
⩽
n
⩽
x
a
n
f
(
n
)
=
A
(
x
)
f
(
x
)
−
∫
1
x
A
(
u
)
f
′
(
u
)
d
u
{\displaystyle \sum _{1\leqslant n\leqslant x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{1}^{x}A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u}
де
A
(
x
)
:=
∑
0
<
n
⩽
x
a
n
.
{\displaystyle A(x):=\sum _{0<n\leqslant x}a_{n}\,.}
В загальному випадку, якщо
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
x
,
y
)
{\displaystyle [x,y)}
∑
x
<
n
⩽
y
a
n
f
(
n
)
=
A
(
y
)
f
(
y
)
−
A
(
x
)
f
(
x
)
−
∫
x
y
A
(
u
)
f
′
(
u
)
d
u
.
{\displaystyle \sum _{x<n\leqslant y}a_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u\,.}
Якщо часткові суми ряду
a
n
{\displaystyle a_{n}}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim \limits _{x\to \infty }f(x)=0}
∑
n
=
1
∞
a
n
f
(
n
)
=
−
∫
1
+
∞
A
(
u
)
f
′
(
u
)
d
u
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}f(n)=-\int \limits _{1}^{+\infty }A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u}
Доведення
Подамо обидві частини рівності як функції від
x
{\displaystyle x}
. По-перше, зауважимо, що з
x
=
1
{\displaystyle x=1}
рівність істинна (інтеграл перетворюється в нуль). По-друге, за нецілих
x
{\displaystyle x}
обидві частини можна продиференціювати, отримавши правильну рівність. Нарешті, при цілому
x
{\displaystyle x}
ліва частина має стрибок
a
x
f
(
x
)
{\displaystyle a_{x}f(x)}
, такий самий стрибок має функція
A
(
x
)
f
(
x
)
{\displaystyle A(x)f(x)}
, а інтеграл неперервний, тобто має стрибок рівний нулю. Таким чином, формулу доведено для всіх
x
≥
1
{\displaystyle x\geq 1}
.
ред.
Для
a
n
=
1
{\displaystyle a_{n}=1}
f
(
x
)
=
1
x
,
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}\,,}
A
(
x
)
=
⌊
x
⌋
,
{\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor ,}
∑
n
=
1
x
1
n
=
⌊
x
⌋
x
+
∫
1
x
⌊
u
⌋
u
2
d
u
=
⌊
x
⌋
x
+
l
n
(
x
)
−
∫
1
x
{
u
}
u
2
d
u
{\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\mathrm {ln} (x)-\int _{1}^{x}{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\mathrm {d} u}
переносячи в ліву частину логарифм і переходячи до границі, отримуємо вираз для сталої Ейлера — Маскероні :
γ
=
1
−
∫
1
∞
{
u
}
u
2
d
u
{\displaystyle \gamma =1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\,du}
{
t
}
{\displaystyle \left\{t\right\}}
дробова частина число
t
{\displaystyle t}
ред.
Для
a
n
=
1
{\displaystyle a_{n}=1}
f
(
x
)
=
1
x
s
,
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,}
A
(
x
)
=
⌊
x
⌋
,
{\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor ,}
∑
1
∞
1
n
s
=
s
∫
1
∞
⌊
u
⌋
u
1
+
s
d
u
=
s
(
∫
1
∞
u
u
1
+
s
d
u
−
∫
1
∞
{
u
}
u
1
+
s
d
u
)
=
1
+
1
s
−
1
−
s
∫
1
∞
{
u
}
u
1
+
s
d
u
.
{\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u=s\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {u}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u-\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\right)=1+{\frac {1}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}
Цю формулу можна використовувати для визначення дзета-функції в області
ℜ
(
s
)
>
0
,
{\displaystyle \Re (s)>0,}
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
полюс із лишком 1 у точці s = 1.
ред.
У загальному випадку, якщо
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
x
,
y
)
{\displaystyle [x,y)}
a
n
=
1
{\displaystyle a_{n}=1}
A
(
x
)
=
⌊
x
⌋
{\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }
∑
x
<
n
⩽
y
f
(
n
)
=
f
(
y
)
⌊
y
⌋
−
f
(
x
)
⌊
x
⌋
−
∫
x
y
⌊
u
⌋
f
′
(
u
)
d
u
=
=
f
(
y
)
(
y
−
{
y
}
)
−
f
(
x
)
(
x
−
{
x
}
)
−
∫
x
y
(
u
−
{
u
}
)
f
′
(
u
)
d
u
=
=
f
(
x
)
{
x
}
−
f
(
y
)
{
y
}
+
∫
x
y
{
u
}
f
′
(
u
)
d
u
+
f
(
y
)
y
−
f
(
x
)
x
−
∫
x
y
u
f
′
(
u
)
=
=
f
(
x
)
{
x
}
−
f
(
y
)
{
y
}
+
∫
x
y
{
u
}
f
′
(
u
)
d
u
+
∫
x
y
f
(
u
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x<n\leqslant y}f(n)&=f(y)\lfloor y\rfloor -f(x)\lfloor x\rfloor -\int _{x}^{y}\lfloor u\rfloor f'(u)\,\mathrm {d} u\,=\\&=f(y)(y-\{y\})-f(x)(x-\{x\})-\int _{x}^{y}(u-\{u\})f'(u)\,\mathrm {d} u\,=\\&=f(x)\{x\}-f(y)\{y\}+\int _{x}^{y}\{u\}f'(u)\,\mathrm {d} u+f(y)y-f(x)x-\int _{x}^{y}uf'(u)\,=\\&=f(x)\{x\}-f(y)\{y\}+\int _{x}^{y}\{u\}f'(u)\,\mathrm {d} u+\int _{x}^{y}f(u).\end{aligned}}}
Для доведення останньої рівності використано інтегрування частинами .
Рівність
∑
x
<
n
⩽
y
f
(
n
)
=
f
(
x
)
{
x
}
−
f
(
y
)
{
y
}
+
∫
x
y
{
u
}
f
′
(
u
)
d
u
+
∫
x
y
f
(
u
)
d
u
{\displaystyle \sum _{x<n\leqslant y}f(n)=f(x)\{x\}-f(y)\{y\}+\int _{x}^{y}\{u\}f'(u)\,\mathrm {d} u+\int _{x}^{y}f(u)\,\mathrm {d} u}
називається формулою сумування Ейлера — Маклорена. Якщо
x
,
y
{\displaystyle x,y}
формул Ейлера — Маклорена . Дана формула часто використовується у аналітичній теорії чисел . Зокрема приклади вище є частковими випадками цієї формули.
Інший важливий приклад застосування можна отримати, якщо взяти
x
=
1
{\displaystyle x=1}
f
(
u
)
=
ln
u
.
{\displaystyle f(u)=\ln u.}
∑
n
⩽
y
ln
n
=
∫
1
y
ln
u
d
u
+
∫
1
y
{
u
}
u
d
u
−
{
y
}
ln
y
.
{\displaystyle \sum _{n\leqslant y}\ln n=\int _{1}^{y}\ln u\,\mathrm {d} u+\int _{1}^{y}{\frac {\{u\}}{u}}\,\mathrm {d} u-\{y\}\ln y.}
Перший доданок у правій частині є рівним
y
ln
y
−
y
,
{\displaystyle y\ln y-y,}
O
(
ln
y
)
.
{\displaystyle O(\ln y).}
∑
n
⩽
y
ln
n
=
y
ln
y
−
y
+
O
(
ln
y
)
.
{\displaystyle \sum _{n\leqslant y}\ln n=y\ln y-y+O(\ln y).}
