Відкрити головне меню

Формула Стірлінґа

(Перенаправлено з Формула Стірлінга)
Відношення (ln n!) до (n ln n − n) при n прямуючому до нескінченості прямує до 1.

Формула Стірлінґа є наближенням для факторіалів при великих значеннях n, названа на честь Джеймса Стірлінґа. Формальне твердження формули

або

Збіжність та похибкиРедагувати

Формула Стірлінґа отримується із Асимптотичного розкладу Стірлінга для   та  :

 
де   (ряд Стірлінґа)

Ряд Стірлінґа особливо корисний для великих значень  : для дійсних додатніх z абсолютна похибка менша ніж абсолютна величина останнього із взятих елементів ряду.

Рядом Стірлінґа також називається асимптотичний розклад логарифму від n!:

 

Відносна похибка формули Стірлінґа спадає із зростанням n, ця формула часто використовується для обчислення відношення двох факторіалів аба гамма-функцій, оскільки в цьому випадку відносна похибка особливо важлива. Зауважимо зокрема що Формула Стірлінґа є просто першим наближенням для ряду Стірлінґа.

Спеціальні формулиРедагувати

 
та
 
при  

ДоведенняРедагувати

Грубо кажучи, найпростішу версію формули Стірлінґа можна швидко отримати, наближаючи суму

 

до інтегралу

 

Повна формула разом із точною похибкою може бути отримана наступним чином.Замість наближення n!, розглядається логарифм натуральний оскільки він є функцією, яка повільно змінюється

 

Від правої частини рівняння віднімаємо

 

і наближуємо методом трапецій інтеграл

 

Похибка в цьому наближенні задається формулою Ейлера—Маклорена

 

де Bkчисла Бернуллі та Rm,n — залишковий член у формулі Ейлера—Маклорена. Перейдемо до границі

 

Позначимо цю границю як y. Оскільки залишок Rm,n у формулі Ейлера—Маклорена задовольняє

 

де ми використовуємо нотацію Ландау ,об'єднуючи вищенаведені рівняння, отримуємо наближену формулу в її логарифмічній формі

 

Взявши експоненту обох сторін і вибираючи будь-яке натуральне m,отримуємо формулу з невідомою величиною \mathrm{e}y. Для m = 1 формула набуває вигляду

 

Величина   може бути знайдена, якщо в обох сторонах перейти до границі при   та застосувавши формулу Валліса, яка показує, що  . Таким чином, отримаємо формулу Стірлінґа

 

ІсторіяРедагувати

Формулу вперше відкрив Абрахам де Муавр у формі

 

Стірлінґ встановив що константа дорівнює  .

ДжерелаРедагувати

  • Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN 966-7893-26-Х Перевірте значення |isbn= (довідка). 
  • Г. Корн и Т. Корн "Справочник по математике для научних работников и инженеров"