У геометрії формулою Бретшнайдера є наступний вираз для обчислення площі загального чотирикутника :
Чотирикутник
S
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
−
a
b
c
d
⋅
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
−
1
2
a
b
c
d
[
1
+
cos
(
α
+
γ
)
]
.
{\displaystyle ={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.}
Тут a b c d p півпериметр , а α γ
Формулу Бретшнайдера можна застосовувати для обчислення площі будь-якого чотирикутника.
Німецький математик Карл Антон Бретшнайдер відкрив формулу в 1842 році. У тому ж році формулу отримав і німецький математик Карл Георг Крістіан фон Штаудт.
Доведення
ред.
Позначимо площу чотирикутника за S
S
=
площа
△
A
D
B
+
площа
△
B
D
C
=
a
d
sin
α
2
+
b
c
sin
γ
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\text{площа }}\triangle ADB+{\text{площа }}\triangle BDC\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}}
Тому
2
S
=
(
a
d
)
sin
α
+
(
b
c
)
sin
γ
.
{\displaystyle 2S=(ad)\sin \alpha +(bc)\sin \gamma .}
4
S
2
=
(
a
d
)
2
sin
2
α
+
(
b
c
)
2
sin
2
γ
+
2
a
b
c
d
sin
α
sin
γ
.
{\displaystyle 4S^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .}
З теореми косинусів випливає, що
a
2
+
d
2
−
2
a
d
cos
α
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
γ
,
{\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,}
оскільки обидві сторони дорівнюють квадрату довжини діагоналі BD
(
a
2
+
d
2
−
b
2
−
c
2
)
2
4
=
(
a
d
)
2
cos
2
α
+
(
b
c
)
2
cos
2
γ
−
2
a
b
c
d
cos
α
cos
γ
.
{\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .}
Додавання цього до вищенаведеної формули для 4S 2 дає
4
S
2
+
(
a
2
+
d
2
−
b
2
−
c
2
)
2
4
=
(
a
d
)
2
+
(
b
c
)
2
−
2
a
b
c
d
cos
(
α
+
γ
)
=
(
a
d
+
b
c
)
2
−
2
a
b
c
d
−
2
a
b
c
d
cos
(
α
+
γ
)
=
(
a
d
+
b
c
)
2
−
2
a
b
c
d
(
cos
(
α
+
γ
)
+
1
)
=
(
a
d
+
b
c
)
2
−
4
a
b
c
d
(
cos
(
α
+
γ
)
+
1
2
)
=
(
a
d
+
b
c
)
2
−
4
a
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}4S^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd(\cos(\alpha +\gamma )+1)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\left({\frac {\cos(\alpha +\gamma )+1}{2}}\right)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}}
Зауважте, що:
cos
2
α
+
γ
2
=
1
+
cos
(
α
+
γ
)
2
{\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {1+\cos(\alpha +\gamma )}{2}}}
тотожність правильна для всіх
α
+
γ
2
{\displaystyle {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}
Слідуючи тими ж кроками, що й у формулі Брахмагупти , це можна записати так
16
S
2
=
(
a
+
b
+
c
−
d
)
(
a
+
b
−
c
+
d
)
(
a
−
b
+
c
+
d
)
(
−
a
+
b
+
c
+
d
)
−
16
a
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
.
{\displaystyle 16S^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).}
Введемо півпериметр
p
=
a
+
b
+
c
+
d
2
,
{\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}},}
отримуємо
16
S
2
=
16
(
p
−
d
)
(
p
−
c
)
(
p
−
b
)
(
p
−
a
)
−
16
a
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle 16S^{2}=16(p-d)(p-c)(p-b)(p-a)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}
S
2
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
−
a
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle S^{2}=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}
формула Бретшнайдера випливає після взяття квадратного кореня з обох сторін:
S
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
−
a
b
c
d
⋅
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}
Пов'язані формули
ред.
Формула Бретшнайдера узагальнює формулу Брахмагупти для площі вписаного чотирикутника , яка у свою чергу узагальнює формулу Герона для площі трикутника .
Тригонометричне перетворення у формулі Бретшнайдера для невписаного чотирикутника може бути подано нетригонометрично в термінах сторін та діагоналей e f [1] [2]
S
=
1
4
4
e
2
f
2
−
(
b
2
+
d
2
−
a
2
−
c
2
)
2
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
−
1
4
(
a
c
+
b
d
+
e
f
)
(
a
c
+
b
d
−
e
f
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}.\end{aligned}}}
Примітки
ред.
Посилання та подальше читання
ред.
Аюб Б. Аюб: Узагальнення теорем Птолемея і Брахмагупти . Математика та комп'ютерна освіта, том 41, № 1, 2007, ISSN 0730-8639
EW Hobson : Трактат про плоску тригонометрію . Cambridge University Press , 1918, с. 204–205 ( онлайн-копія )
CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Архітектура математики і фізики, група 2, 1842, с. 225-261 ( електронна копія, німецька [Архівовано 22 лютого 2019 у Wayback Machine .] )
F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen і sphärischen Viereck і Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Архітектура математики і фізики, група 2, 1842, с. 323-326 ( електронна копія, німецька [Архівовано 22 лютого 2019 у Wayback Machine .] ) Зовнішні посилання
ред.
![{\displaystyle ={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f628b1c44f19ced9dd146decddf90211abf3f887)
