Формула Бретшнайдера

У геометрії формулою Бретшнайдера є наступний вираз для обчислення площі загального чотирикутника :

Чотирикутник

Тут a , b , c , d - сторони чотирикутника, p - півпериметр , а α і γ - два протилежні кути.

Формулу Бретшнайдера можна застосовувати для обчислення площі будь-якого чотирикутника.

Німецький математик Карл Антон Бретшнайдер відкрив формулу в 1842 році. У тому ж році формулу отримав і німецький математик Карл Георг Крістіан фон Штаудт.

ДоведенняРедагувати

Позначимо площу чотирикутника за S. Тоді ми маємо

 

Тому

 
 

З теореми косинусів випливає, що

 

оскільки обидві сторони дорівнюють квадрату довжини діагоналі BD. Це можна записати як

 

Додавання цього до вищенаведеної формули для 4S2 дає

 

Зауважте, що:   (тригонометрична тотожність правильна для всіх  )

Слідуючи тими ж кроками, що й у формулі Брахмагупти, це можна записати так

 

Введемо півпериметр

 

отримуємо

 
 

формула Бретшнайдера випливає після взяття квадратного кореня з обох сторін:

 

Пов'язані формулиРедагувати

Формула Бретшнайдера узагальнює формулу Брахмагупти для площі вписаного чотирикутника, яка у свою чергу узагальнює формулу Герона для площі трикутника.

Тригонометричне перетворення у формулі Бретшнайдера для невписаного чотирикутника може бути подано нетригонометрично в термінах сторін та діагоналей e та f [1] [2]

 

ПриміткиРедагувати

  1. JL Coolidge, "Цікаві формули для обчислення площі чотирикутника", American Mathematical Monthly , 46 (1939) 345–347. ( JSTOR )
  2. EW Hobson : Трактат про плоску тригонометрію . Cambridge University Press, 1918, с. 204-205

Посилання та подальше читанняРедагувати

  • Аюб Б. Аюб: Узагальнення теорем Птолемея і Брахмагупти . Математика та комп'ютерна освіта, том 41, № 1, 2007, ISSN 0730-8639
  • EW Hobson : Трактат про плоску тригонометрію . Cambridge University Press, 1918, с.   204–205 ( онлайн-копія )
  • CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Архітектура математики і фізики, група 2, 1842, с. 225-261 ( електронна копія, німецька )
  • F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen і sphärischen Viereck і Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Архітектура математики і фізики, група 2, 1842, с. 323-326 ( електронна копія, німецька )

Зовнішні посиланняРедагувати