Трикутник Кеплера

Трикутник Кеплера — прямокутний трикутник довжини сторін якого перебувають у геометричній прогресії. Відношення сторін трикутника Кеплера прив'язано до золотого перетину

Трикутник Кеплера — правильний трикутник сформований трьома квадратами з площами, що перебувають у геометричній прогресії відповідно до золотого перетину

$\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}$

і може бути записане: $1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi$, або приблизно 1 : 1.2720196 : 1.6180339. Квадрати сторін трикутника перебувають у геометричній прогресії відповідно до золотого перетину.

Трикутники з подібним відношенням названі на честь німецького математика і астронома Йоганна Кеплера (1571—1630), який першим продемонстрував, що цей трикутник характеризується рівністю відношення між меншим катетом і гіпотенузою та золотим перетином. Трикутник Кеплера об'єднує дві математичні концепції — теорему Піфагора і золотий перетин, це глибоко захопило Кеплера.

Деякі джерела стверджують, що трикутник майже подібний трикутнику Кеплера можна побачити в піраміді Хеопса.

Виведення

Факт того, що сторони $1$, ${\sqrt {\varphi }}$ та $\varphi$, формують прямокутний трикутник отримується прямо шляхом переписання квадратного полінома, що визначає золотий перетин $\varphi$:

$\varphi ^{2}=\varphi +1$

у вигляді теореми Піфагора:

$(\varphi )^{2}=({\sqrt {\varphi }})^{2}+(1)^{2}.$

Побудова трикутника Кеплера

Спосіб побудови трикутника Кеплера через золотий прямокутник

Трикутник Кеплера може бути побудований за допомогою циркуля та лінійки через золотий прямокутник:

1. Малюємо звичайний квадрат
2. Проводимо лінію через середину одної сторони квадрата і протилежну вершину
3. Використовуємо цю лінію для накреслення дуги, що визначає висоту прямокутника
4. Використовуємо довшу сторону золотого прямокутника для малювання дуги, що перетинає протилежну сторону прямокутника і визначає гіпотенузу трикутника Кеплера

Математичний збіг

Візьмемо трикутник Кеплера зі сторонами $a,a{\sqrt {\varphi }},a\varphi ,$ і розглянемо:

• описане навколо нього коло і
• квадрат зі стороною, рівною середній за величиною стороні трикутника.

Тоді периметр квадрата ($4a{\sqrt {\varphi }}$) и довжина кола ($a\pi \varphi$) збігаються з точністю до 0,1 %.

Це математичний збіг $\pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}$. Ці квадрат і коло не можуть мати однакової довжини периметра, оскільки в цьому випадку можна було б розв'язати класичну нерозв'язну задачу про квадратуру круга. Іншими словами, $\pi \neq 4/{\sqrt {\varphi }}$ оскільки $\pi$ — трансцендентне число.