Точка Аполлонія

У геометрії трикутника точка Аполлонія — це особлива точка, пов'язана з плоским трикутником. Ця точка є одним із центрів трикутника, і в Енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга її позначено як X(181). Центр Аполлонія також пов'язаний з задачею Аполлонія.

У літературі термін «точки Аполлонія» також використовувався для позначення ізодинамічних точок трикутника. Це пояснюється тим, що ізодинамічні точки пов'язані з трьома аполоніївськими колами, пов'язаними з трикутником.

Розв'язок задачі Аполлонія відомий потягом століть, проте точку Аполлонія вперше позначено 1987 року.

Визначення

Точка Аполлонія трикутника визначається так.

Нехай $ABC$ — даний трикутник. Нехай $E_{A}$, $E_{B}$, $E_{C}$ — зовнівписані кола трикутника $ABC$, протилежні до вершин $A$, $B$, $C$ відповідно. Нехай $E$ — коло, яке дотикається до трьох кіл $E_{A}$, $E_{B}$, $E_{C}$ так, що вони лежать в $E$. Нехай $A'$, $B'$, $C'$ — точки дотику кола $E$ з трьома колами. Відрізки $AA'$, $BB'$, $CC'$ перетинаються в одній точці. Точка перетину — точка Аполлонія трикутника $ABC$.

Задача Аполлонія — це задача побудови кола, дотичного до трьох даних кіл у площині. Загалом існує вісім кіл, що дотикаються до трьох даних кіл. Коло $E$, згадане у визначенні, є одним із цих восьми кіл, що дотикаються до трьох зовнівписаних кіл трикутника $ABC$. В Енциклопедії центрів трикутників коло $E$ називається колом Аполлонія трикутника $ABC$.

Трилінійні координати

Трилінійними координатами точки Аполлонія є

${\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+b-c}}$

$=\sin ^{2}A\cos ^{2}({\frac {B}{2}}-{\frac {C}{2}}):\sin ^{2}B\cos ^{2}({\frac {C}{2}}-{\frac {A}{2}}):\sin ^{2}C\cos ^{2}({\frac {A}{2}}-{\frac {B}{2}}).$

Див. також

• Точки Аполлонія
• Теорема Аполлонія
• Задача Аполлонія
• Кола Аполлонія
• Ізодинамічна точка трикутника
• Аполлоній Перзький (262—190 рр. до н. е.), геометр і астроном