Теорія множин Цермело

Теорія множин Цермело — теорія множин, що включає в себе 7 аксіом, опублікована німецьким математиком Ернстом Цермело у 1908 році. Система аксіом Цермело (Z) для теорії множин була створена тому, що в інтуїтивній теорії множин Георга Кантора були виявлені парадокси і аксіоматичний метод виявилася єдиним виходом із становища.

Пізніше Абрахам Френкель і Туралф Скулем розширили її до 10 аксіом (Теорія множин Цермело — Френкеля ZF).

Аксіоми Теорії множин Z

AXIOM I. Аксіома об'ємності (екстенсіональності). Дві множини збігаються (рівні між собою) тоді й лише тоді, коли вони мають одні й ті самі елементи:

$~\forall x\;\forall y\;(x=y)\iff \forall z\;(z\in x\iff z\in y)$

Замість поданого твердження інколи записують, що елементи вважають однаковими, якщо вони належать до одних і тих самих множин. Інакше кажучи, їх неможливо розрізнити за допомогою належності до множин:

$~\forall x\;\forall y\;(x=y)\iff \forall z\;(x\in z\iff y\in z)$

AXIOM II. Аксіома пари: Із двох довільних [однакових чи різних] множин можна утворити [щонайменше одну] невпорядковану пару, тобто таку множину $~c$, кожний елемент якої $~b$ ідентичний даній множині $~a_{1}$ або даній множині $~a_{2}$:

$~\forall a_{1}\;\forall a_{2}\;\exists c\;\forall b\;(b\in c\;\iff \ b=a_{1}\;\lor \;b=a_{2})$

AXIOM III. Аксіомна схема виділення. Для довільної множини $x$ і властивості (предиката, висловлювання системи $Z$) $P$ існує множина $y$, елементами якої є ті й лише ті елементи множини $y$, які мають властивість $P$ (при яких справджується Р):

$~\forall x\;\forall P\;\exists y\;\forall z\;(z\in y)\iff (z\in x\land P(z))$.

Тут $y$ не входить у запис $P$.

AXIOM IV. Аксіома булеана. Для довільної множини $x$ існує множина $y$, елементами якої є ті й лише ті елементи, що є підмножинами $x$.

$~\forall x\;\exists y\;\forall z\;(z\in y)\iff (\forall t\;(t\in z)\Longrightarrow (t\in x))$.

З використанням відношення підмножини $\subseteq$ останню формулу можна спростити:

$~\forall x\;\exists y\;\forall z\;(z\in y)\iff (z\subseteq x))$.

Таку множину $y$ називають булеаном множини $x$ та позначають $P(x)$ або $2^{x}$.

Для скінченних множин справджується рівність $|2^{x}|=2^{|x|}$. Тут $|x|$ — кількість елементів множини $x$.

AXIOM V. Аксіома об'єднання. З будь-якого сімейства $~a$ множин $~b$ можна утворити як мінімум одну таку множину $~d$, кожен елемент $~c$ якої належить хоча б одній множині $~b$ даного сімейства $~a$ :

$~\forall a\;\exists d\;\forall c\;(c\in d\iff \exists b\;(b\in a\;\land \ c\in b)\;)$

AXIOM VI. Аксіома вибору. Для довільної множини $z$ існує функція $w$, що вибирає з кожного непорожнього елемента $x$ множини $z$ єдиний елемент $w*x$:

$~\forall z\;\exists w\;(Fnc(w)\land \forall x\;(x\in z\land \lnot x\;=\varnothing \Longrightarrow w*x\in x))$.

AXIOM VII. Аксіома нескінченності. Існує така множина $x$, що містить порожню множину $\varnothing$ та для довільного належного до неї елемента y включає також і множину, утворену об’єднанням $y$ та ${y}$:

$~\exists x\;(\varnothing \in x)\land (\forall y\;(y\in x)\Longrightarrow \;(y\cup {y}\in x))$.

За допомогою раніше означеного предикату $Inf$ цю аксіому можна записати так:

$~\exists x\;Inf(x)$

Теорія множин ZF

Абрахам Френкель і Туралф Скулем незалежно довели у 1922, що в теорії множин Z неможливо довести існування {Z₀, Z₁, Z₂, ...}, де Z₀ — натуральні числа, а Z_n+1 — булеан Z_n. Френкель запропонував доповнити Z новою аксіомою підстановки, а також акіомою регулярності.

Отриману систему називають системою аксіом Цермело — Френкеля і позначають ZF. Ця система аксіом містить єдине примітивне онтологічне (фундаментальне) поняття — множина, та єдине онтологічне припущення, що всі досліджувані об'єкти є множинами. Запроваджено єдине бінарне відношення приналежності до множини.

Див. також

• Аксіоматика теорії множин
• Z-нотація
• Теорема Цермело

Джерела

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

Посилання

• Аксіоматичний підхід до теорії множин. Нелогічні аксіоми системи Цермело — Френкеля ZF