Аксіома булеана

Аксіома існування булеана (аксіома множини підмножин) формулюється так: «з будь-якої множини можна утворити булеан, тобто таку множину $~d$, яка складається з усіх власних і невласних підмножин $~b$ даної множини $~a$». Згідно з теорією множин математично ця аксіома записується так:

$~\forall a\;\exists d\;\forall b\;(b\in d\iff \forall c\;(c\in b\Rightarrow c\in a)\ )$

В аксіомі булеана вказаний тип множин (підмножини множини $~a$), які повинні бути елементами утвореної множини $~d$. Разом з тим, аксіома булеана не містить алгоритму знаходження всіх елементів утвореної множини $~d$.

Аксіому булеана можна вивести з наступних висловлювань:

• $~\exists d\;\forall b\;(b\subseteq a\Rightarrow b\in d)$

• $~\forall d\;\exists c\;\forall b\;(b\in c\iff b\in d\land b\subseteq a)$

Перше з цих висловлювань - один з наслідків аксіоми булеана, а друге - одна з конкретизацій схеми виділень.

Керуючись аксіомою об'ємності, можна довести єдиність булеана для кожної множини $~a$. Інакше кажучи, можна довести, що аксіома булеана рівносильна висловлюванню:

$~\forall a\;\exists !d\;\forall b\;(b\in d\iff b\subseteq a)$, що є $~\forall a\;\exists d\;(d=\{b:b\subseteq a\}\quad \land \quad \forall d'\;(d'\neq d\to d'\neq \{b:b\subseteq a\})\ )$.

Альтернативні формулювання аксіоми

$~\forall a\;\exists d\;\forall b\;(b\in d\iff b\subseteq a)$, де $~b\subseteq a\iff \forall c\ (c\in b\Rightarrow c\in a)$

$~\forall a\;\exists d\;(d=\{b:b\subseteq a\})$

$~\forall a\;\exists d\;\forall b\;(b\notin d\iff \exists c\;(c\in b\land c\notin a))$

Див. також

• Аксіоматика теорії множин
• Булеан

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)