Теорема Рунге

Теорема Рунге (також апроксимаційна теорема Рунге) в комплексному аналізі — твердження про можливість рівномірного наближення голоморфної функції раціональними функціями або многочленами. Доведена німецьким математиком Карлом Рунге у 1885 році.

Формулювання

Позначимо ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.$ Нехай $K\subset \mathbb {C}$ — компактна підмножина і $f(z)$ голоморфна функція в визначена на відкритій множині, що містить $K.$ Якщо $A$ — множина, що містить по одній точці з кожної компоненти зв'язності множини ${\hat {\mathbb {C} }}\setminus K,$ для кожного $\varepsilon >0$ існує раціональна функція, що має полюсами в множині $A$ і для якої $\sup _{z\in K}|f(z)-r(z)|<\varepsilon$ .

Звідси зокрема випливає, що при тих же умовах і позначеннях, що і вище для функції $f(z)$ існує послідовність функцій $f_{i}(z),$ що рівномірно на $K$ збігаються до $f(z).$

Якщо $U\subset \mathbb {C}$ — відкрита множина то також довільна голоморфна на $U$ функція $f(z)$ може бути рівномірно на компактних підмножинах наближеною раціональними функціями.

Наслідки

Якщо $K\subset \mathbb {C}$ і множина ${\hat {\mathbb {C} }}\setminus K,$ є зв'язною то взявши $A=\infty$ з теореми Рунге можна отримати наступний результат, який теж часто називається теоремою Рунге:

Якщо при вказаних умовах функція

f(z)

є голоморфною на відкритій множині, що містить

K

тоді для кожного

\varepsilon >0

існує многочлен

p(z)

, для якого

\sup _{z\in K}|f(z)-p(z)|<\varepsilon

.

Дане твердження може бути перефразованим для відкритих зв'язних множин $U\subset \mathbb {C}$ таких, що ${\hat {\mathbb {C} }}\setminus U$ є зв'язною множиною. В цьому випадку $f(z)$ рівномірно наближається поліномами на всіх компактних підмножинах в $U.$ Множина $U$ є зв'язною разом із своїм доповненням ${\hat {\mathbb {C} }}\setminus U$ тоді і тільки тоді, коли множина $U$ є однозв'язною. Натомість якщо взяти $U=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ то функцію $f(z)={\frac {1}{z}}$ не можна апроксимувати на компактах многочленами.