Теорема Ліндемана — Веєрштрасса

Теорема Ліндемана — Веєрштрасса, яка узагальнює теорему Ліндемана, доводить трансцендентність великого класу чисел. Теорема стверджує таке:

Якщо $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ — різні алгебричні числа, лінійно незалежні над $\mathbb {Q}$, то $e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}$ є алгебрично незалежними над $\mathbb {Q}$, тобто, степінь трансцендентності розширення $\mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}})$ дорівнює $n$

Часто використовується еквівалентне формулювання:

Для будь-яких різних алгебричних чисел $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ числа $e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}$ є лінійно незалежними над полем алгебричних чисел ${\overline {\mathbb {Q} }}$.

Історія

1882 року Ліндеман довів, що $e^{\alpha }$ трансцендентне для будь-якого ненульового алгебричного $\alpha$, а 1885 року Карл Веєрштрасс довів загальніше твердження, наведене вище.

З теореми Ліндемана — Веєрштрасса легко випливає трансцендентність чисел e і π.

Доведення трансцендентності π

Застосуємо метод доведення від супротивного. Припустимо, що число $\pi$ є алгебричним. Тоді число $i\pi$, де $i$ — уявна одиниця, також алгебричне, отже, за теоремою Ліндемана — Веєрштраса $e^{i\pi }$ трансцендентне, проте, згідно з тотожністю Ейлера, воно дорівнює алгебричному числу $-1$, що викликає суперечність. Отже, число $\pi$ трансцендентне.

Література

• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с.
• Шидловский А. Б. Диофантовы приближения и трансцендентные числа. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. — ISBN 978-5-9221-0720-4.