Теорема Кронекера — Капеллі

Теорема Кронекера — Капеллі — критерій сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

СЛАР має розв'язки тоді й лише тоді, коли ранг її матриці дорівнює рангу її розширеної матриці

  • Система має єдиний розв'язок, якщо ранг дорівнює кількості невідомих,
  • і нескінченно багато розв'язків, якщо ранг менший кількості невідомих.

НеобхідністьРедагувати

Нехай СЛАР сумісна, тоді існує розв'язок:   такий, що  

Тобто, стовпець   є лінійною комбінацією стовпців матриці  

Отже  

ДостатністьРедагувати

Нехай   Візьмемо у матриці   будь-який базисний мінор.

Так як  , то він буде базисним мінором і для матриці  

Тоді згідно з теоремою про базисний мінор, останній стовпець матриці   буде лінійною комбінацією базисних стовпчиків, тобто стовпців матриці  

Отже, стовпець вільних членів системи є лінійною комбінацією стовпців матриці   коефіцієнти такої лінійної комбінації і будуть розв'язком СЛАР.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати