Розширена матриця

В лінійній алгебрі, розширена матриця матриці, це матриця отримана шляхом деяких змін початкової.

Нехай маємо матриці A і B, де:

$A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}}.$

Тоді, розширена матриця (A|B) виглядає як:

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{array}}\right].$

Це корисно при розв'язуванні системи лінійних рівнянь; розширена матриця також може бути використана для знаходження оберненої матриці шляхом комбінування з одиничною матрицею.

Приклади

Нехай C 2×2 матриця де $C={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}.$

Для знаходження оберненої для С ми створюємо (C|I) де I це 2×2 одинична матриця. Ми приводимо частину (C|I), що відповідає C к одиничній матриці, використовуючи тільки елементарні матричні перетворення на (C|I).

$(C|I)=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]$

$(I|C^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right]$

В лінійній алгебрі, розширена матриця використовується для представлення коефіцієнтів і вектора розв'язку для набору рівнянь:

${\begin{aligned}x_{1}+2x_{2}+3x_{3}&=0\\3x_{1}+4x_{2}+7x_{3}&=2\\6x_{1}+5x_{2}+9x_{3}&=11\end{aligned}}$

розширена матриця буде скомпонована з

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}}.$

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right],$ або

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{array}}\right].$

Див. також

• Метод Гауса — Жордана

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Marvin Marcus and Henryk Minc, Огляд теорії матриць і матричних нерівностей, Dover Publications, 1992, ISBN 0-486-67102-X. Стор. 31. (англ.)
• Код для відображення розширенної матриці [Архівовано 12 жовтня 2010 у Wayback Machine.] (англ.)