Теорема Вейля про рівномірний розподіл

твердження в теорії чисел

Теорема Вейля про рівномірний розподіл формулює критерій рівномірної розподіленості нескінченної послідовності дійсних чисел із відрізка .

Теорему довів 1914 року і опублікував 1916 року Герман Вейль[1].

Визначення

ред.

Нехай   — нескінченна послідовність дійсних чисел з інтервалу  .

Для чисел   позначимо через   кількість чисел з  , що лежать у відрізку  .

Визначимо граничне найбільше відхилення як  .

Послідовність   називається рівномірно розподіленою в  , якщо  . Іншими словами, послідовність рівномірно розподілена в   якщо в будь-якому ненульовому відрізку частка елементів, що потрапляють у цей відрізок, прямує до частки розміру відрізка в  .

Формулювання теореми

ред.

Послідовність   рівномірно розподілена в   тоді й лише тоді, коли для будь-якої інтегровної за Ріманом на відрізку   функції   виконується тотожність:

 

Наслідки

ред.

Критерій із тригонометричними сумами

ред.

Теорема Вейля дозволяє вивести прямий зв'язок рівномірності розподілу з тригонометричними сумами.

Послідовність   рівномірно розподілена в   тоді й лише тоді, коли для будь-якого цілого   виконується

 

Доведення останнього твердження проводиться аналогічно доведенню основної теореми (див. вище), тільки замість апроксимації кусково-лінійною функцією використовується апроксимація частковими сумами ряду Фур'є.

Стала   у формулі фактично є значенням інтегралу  .

Дробові частини від кратних ірраціональних

ред.

Завдяки формулюванню теореми, яка використовує тригонометричні суми, легко вивести такий результат:

Позначимо через   дробову частину числа  

Якщо   — ірраціональне число, то послідовність   рівномірно розподілена в  .

 

Література

ред.
  • Кейперс Л., Нидеррайтер Г. Равномерное распределение последовательностей. — М. : Наука, 1985. — 408 с.
  • Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М. : Издательство иностранной литературы, 1961. — 213 с.

Примітки

ред.
  1. Hermann Weyl. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Mathematische Annalen. — 1916. — Т. 77 (16 червня). — С. 313-352. Архівовано з джерела 15 серпня 2017.