Теорема Брауера про інваріантність областей

Теорема про інваріантність областей стверджує, що образ відкритої підмножини евклідового простору при неперервному ін'єктивному відображенні у цей же евклідів простір є відкритою множиною. Теорема була доведена Лейтзеном Брауером. ^[1]

Формулювання

Нехай $U$ — відкрита підмножина у $\mathbb {R} ^{n}$ і $f\colon U\to \mathbb {R} ^{n}$ — ін'єктивне неперервне відображення. Тоді образ $B=f(U)$ є відкритою підмножиною у $\mathbb {R} ^{n}$ , і $f$ є гомеоморфізмом між $U$ і $B,$ тобто є відкритим і замкнутим відображенням.

Образ ін'єктивного неперервного відображення відкритого інтервалу в площину є негомеоморфним самому інтервалу.

Зауваження

Як видно на картинці, твердження теореми не є вірним для відображення між евклідовими просторами різної розмірності
Також твердження є невірним для просторів нескінченної розмірності. Наприклад, відображення правого зсуву
$(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )$

гільбертового простору у себе є неперервним і ін'єктивним, але не є відкритим.

Доведення

Дане доведення використовує властивості відкритих і замкнутих відображень, а також теорему Брауера — Жордана, що є узагальненням теореми Жордана про криві.

Для доведення теореми достатньо довести, що для будь-якої відкритої множини Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle V \subset U} образ $f(V)$ є відкритою підмножиною у $\mathbb {R} ^{n}$ . Більш того достатньо довести твердження для елементів деякої бази топології, наприклад відкритих куль виду $D=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ \lVert x-x_{0}\rVert <\delta \}$ радіуса $\delta$ із центром $x_{0}$ , що із своїм замиканням $S=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ \lVert x-x_{0}\rVert =\delta \}$ належать U.

$S$ є компактною множиною і $f|_{S}$ є ін'єктивним неперервним відображенням із компактного простору $S$ у простір $\mathbb {R} ^{n}$ , що є гаусдорфовим. Як неперервне відображення із компактного простору в гаусдорфовий $f|_{S}$ є замкнутим відображенням (замкнута підмножина компактного простору є компактною, її образ при неперервному відображенні теж буде компактною підмножиною, а компактна підмножина гаусдорфового простору є замкнутою; тобто образ замкнутої множини при таких умовах теж э замкнутою множиною). Оскільки $f|_{S}$ є ін'єктивним, то він також є гомеоморфізмом. Тому образ $f(S)$ є гомеоморфним сфері і згідно з теоремою Брауера — Жордана доповнення $\mathbb {R} ^{n}\setminus f(S)$ є об'єднанням двох компонент зв'язності $U_{1},U_{2}$ перша з яких є обмежена, а друга — необмежена.

Множина $f({\bar {D}})$ (де ${\bar {D}}$ є замиканням $D$ ) є компактною, як образ компактної множини при неперервному відображенні. Тому $f({\bar {D}})$ є обмеженою множиною і $\mathbb {R} ^{n}\setminus f({\bar {D}})$ є необмеженою, зв'язаною областю. Звідси $\mathbb {R} ^{n}\setminus f({\bar {D}})\subseteq U_{2}$ або еквівалентно $U_{1}\subseteq f(D).$

Множина $D$ є зв'язаною, тому і $f(D)$ є зв'язаною і тому міститься в одній із компонент зв'язності $U_{1},U_{2}$ . Оскільки $U_{1}\subseteq f(D)$ то цією компонентою є $U_{1}$ і тоді також $f(D)\subseteq U_{1}$ і остаточно $f(D)=U_{1}.$ Тобто образом довільної відкритої множини $D$ із вказаної бази є відкрита множина $U_{1}$ і відображення є відкритим.

Наслідки

З теореми випливає, що Евклідові простори різної розмірності не є гомеоморфними.
За допомогою теореми можна довести багато тверджень про існування опуклих многогранників, зокрема існування опуклого многогранника з даною розгорткою ^[2]

Узагальнення

Теорема про інваріантності області допускає пряме узагальнення на відображення між многовидами однакової розмірності.
Існують також узагальнення для деяких видів неперервних відображень з банахових просторів у себе. ^[3]

Примітки

↑ Brouwer L.E.J. Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 71 (1912), ст. 305–315; див. також 72 (1912), ст. 55–56
↑ А. Д. Александров. Элементарное доказательство теоремы Минковского и некоторых других теорем о выпуклых многогранниках // Изв. АН СССР. Сер. Матем.. — 1937. — Т. 1, № 4. — С. 597—608.
↑ Leray J. Topologie des espaces abstraits de M. Banach.

Див. також

Література

Madsen, I. H.; Tornehave, J (1997). From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classes. Cambridge University Press. ISBN 978-0521580595.

[1] Brouwer L.E.J. Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 71 (1912), ст. 305–315; див. також 72 (1912), ст. 55–56

[2] А. Д. Александров. Элементарное доказательство теоремы Минковского и некоторых других теорем о выпуклых многогранниках // Изв. АН СССР. Сер. Матем.. — 1937. — Т. 1, № 4. — С. 597—608.

[3] Leray J. Topologie des espaces abstraits de M. Banach.

[1]

[2]

[3]