Теорема Жордана

У топології, Жорданова крива — це довільна замкнена без самоперетинів крива в площині, інакше відома як проста замкнена крива.

Ілюстрація теореми про Жорданову криву. Жорданова крива (чорний) ділить площину на внутрішню (обмежену) область (блакитний) та зовнішню (необмежену) область (рожевий)

Теорема Жордана стверджує, що кожна Жорданова крива ділить площину на дві області — внутрішню область обмежену кривою і зовнішню, що містить усі ближні і дальні зовнішні точки, причому будь-який шлях, який зв'язує точки з двох областей, перетне цю криву в якійсь точці.

Хоча твердження теореми здається інтуїтивно очевидним, потрібна винахідливість, щоб довести її через елементарні логічні пояснення. Прозоріше доведення покладається на математичні механізми алгебричної топології, і веде до узагальнення для вищих вимірів.

Теорему названо на честь Каміля Жордана, який першим довів її.

Необхідні визначення і твердження теореми

Крива Жордана або проста замкнена крива в площині R² це образ C ін'єктивного неперервного відображення кола в площину, φ: S¹ → R². Жорданова дуга в площині — образ ін'єктивного неперервного відображення замкненого відрізка.

Інакше, жорданова крива — це образ неперервного відображення φ: [0,1] → R² такий, що φ(0) = φ(1) і з обмеженням, що φ в [0,1) є ін'єкцією. Перші дві умови кажуть, що C є неперервною замкненою кривою, тоді як остання вимагає відсутності самоперетинів.

Нехай C — жорданова крива в площині R². Тоді її доповнення, R² \ C, містить рівно дві зв'язні складові. Одна з цих складових є обмеженою множиною (внутрішня область), інша — необмежена (зовнішня область), і крива C є межею кожної зі складових.

Натомість, доповнення жорданової дуги в площині зв'язне.

Доведення

Перші відомі доведення теореми Жордана були аналітичними. Лейтзен Брауер узагальнив теорему на вищі розмірності і дав топологічне доведення із застосуванням ідей теорії гомологій. Подане тут доведення використовує редуковані сингулярні гомології і послідовності Маєра — Вієторіса для них.

Доводиться узагальнення для багатовимірних сфер, яке називають також теоремою Жордана — Брауера. Згідно з цією теоремою, якщо $S^{n}$ є гіперсферою розмірності n, і $h:S^{k}\to S^{n}$ є вкладенням однієї гіперсфери в іншу (тобто h є гомеоморфізмом на свій образ) то редуковані сингулярні гомології простору $S^{n}\setminus h(S^{k})$ є рівними:

${\tilde {H}}_{i}(S^{n}\setminus h(S^{k}))={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&i=n-k+1\\0,&i\neq n-k+1\end{cases}}.$

Оскільки для будь-якого простору X нульова редукована група рівна $\mathbb {Z} ^{j-1}$ , де j — кількість компонент лінійної зв'язності простору X , із твердження теореми випливає те, що для будь якого вкладення $h:S^{n-1}\to S^{n}$ простір $S^{n}\setminus h(S^{n-1})$ має дві компоненти лінійної зв'язності, а отже дві компоненти зв'язності. Оскільки простір $\mathbb {R} ^{n}$ є гомеоморфним $S^{n}$ без одної точки, то й довільне вкладення $h:S^{n-1}\to R^{n}$ ділить простір $\mathbb {R} ^{n}$ на дві компоненти зв'язності причому одна є обмеженою, а інша — ні. У випадку $n=2$ кожна жорданова крива є вкладенням $h:S^{1}\to R^{2}$ і з теореми Жордана — Брауера випливає теорема Жордана про криві.

Доведення теореми Жордана — Брауера

Доведення використовує властивість, що редуковані сингулярні групи простору $S^{n}\setminus h(B^{k})$ (де $B^{k}$ — одинична куля розмірності k і $h(B^{k})$ теж є вкладенням) є тривіальними. Це можна довести індукцією за розмірністю k. Для k = 0, куля $B^{0}$ є точкою і $S^{n}\setminus h(B^{0})$ гомеоморфний простору $\mathbb {R} ^{n}.$ Оскільки $\mathbb {R} ^{n}$ є стягуваним простором то всі редуковані сингулярні групи $\mathbb {R} ^{n}$ і тому також $S^{n}\setminus h(B^{0})$ є тривіальними.

Для вищих розмірностей зручніше розглядати замість кулі $B^{k}$ гомеоморфний їй куб $I^{k}=[0,1]^{k}$ тої ж розмірності. Нехай твердження доведено для деякого невід'ємного цілого числа $k-1$ . Позначимо $A=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [0,1/2])$ і $B=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [1/2,1]).$ Тоді $A\cup B=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{1/2\})$ і $A\cap B=S^{n}\setminus h(I^{k}).$ Згідно з припущенням індукції, всі редуковані сингулярні групи $A\cup B=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{1/2\})$ тривіальні. Тому розглядаючи простір $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{1/2\})$ і його відкриті підмножини $A,B$ у послідовності Маєра — Вієторіса одержуємо, що всі гомоморфізми ${\tilde {H}}_{i}(S^{n}\setminus h(I^{k}))\to {\tilde {H}}_{i}A\oplus {\tilde {H}}_{i}B$ є ізоморфізмами. За означенням послідовності Маєра — Вієторіса обидві компоненти цього ізоморфізму ${\tilde {H}}_{i}(S^{n}\setminus h(I^{k}))\to {\tilde {H}}_{i}A$ і ${\tilde {H}}_{i}(S^{n}\setminus h(I^{k}))\to {\tilde {H}}_{i}B$ є породженими відображенням вкладення (з точністю до множення на -1). Тому, якщо $\alpha$ є циклом у $S^{n}\setminus h(I^{k}),$ що не є межею в цьому просторі, то $\alpha$ також не є межею хоча б у одному із просторів $A,B.$ Якщо вона не є межею у просторі $A$ то можна ввести простори $A_{1}=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [0,1/4])$ і $B_{1}=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [1/4,1/2]).$ Тоді $A_{1}\cup B_{1}=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{1/4\})$ і $A_{1}\cap B_{1}=A.$ За допомогою аргументів аналогічних до попередніх одержуємо, що $\alpha$ також не є межею хоча б у одному із просторів $A_{1},B_{1}.$ Продовжуючи надалі такий процес одержуємо послідовність вкладених замкнутих інтервалів $I_{m}=\left[{i-1 \over 2^{m}},{i \over 2^{m}}\right],\quad i\in 1,\ldots m$ для яких $\alpha$ не є межею у просторах $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times I_{m})$ . Згідно з лемою про вкладені відрізки ці інтервали прямують до деякої спільної точки $p\in [0,1].$ Згідно з припущенням індукції усі редуковані сингулярні гомологічні групи простору $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{p\})$ є тривіальними, а тому $\alpha$ є межею, тобто $\alpha =\partial \beta$ для деякого $\beta .$ Але $\beta$ є формальною сумою скінченної кількості сингулярних симплексів із цілими коефіцієнтами. Оскільки й об'єднання скінченної кількості сингулярних симплексів і $h(I^{k-1}\times \{p\})$ є компактними підмножинами сфери, то можна знайти також таке $\varepsilon >0,$ що всі сингулярні симплекси із $\beta$ належать простору $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [p-\varepsilon ,p+\varepsilon ])$ але тоді й межа $\beta$ тобто $\alpha$ теж належить простору $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [p-\varepsilon ,p+\varepsilon ])$ . Проте для деякого m інтервал $I_{m}\subset [p-\varepsilon ,p+\varepsilon ]$ . Тоді на $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times I_{m})$ також $\alpha =\partial \beta ,$ що суперечить вибору інтервалу $I.$ Тобто $\alpha$ має бути межею вже в $S^{n}\setminus h(I^{k})$ і тому всі редуковані сингулярні групи цього простору є тривіальними. Це завершує крок індукції і доведення властивості для просторів $S^{n}\setminus h(B^{k})$ .

Для доведення твердження для просторів $S^{n}\setminus h(S^{k})$ теж використовують індукцію за розмірністю k. Для k = 0, простір $S^{0}$ є двома точками і $S^{n}\setminus h(S^{0})$ гомеоморфний $S^{n-1}\times \mathbb {R}$ і його редуковані сингулярні групи рівні групам для гіперсфери $S^{n-1},$ тобто ${\tilde {H}}_{n-1}(S^{n}\setminus h(S^{0}))=\mathbb {Z}$ і всі інші редуковані сингулярні групи тривіальні. Тобто твердження теореми в цьому випадку є істинним.

Припустимо, що теорему доведено для деякого невід'ємного цілого числа $k-1$ . Сферу $S^{k}$ можна подати як об'єднання двох півсфер $S_{+}^{k}$ і $S_{-}^{k}$ (гомеоморфних кулі $B^{k}$ ) перетин яких рівний $S^{k-1}.$ Позначимо $A=S^{n}\setminus h(S_{+}^{k})$ і $B=S^{n}\setminus h(S_{-}^{k}).$ Тоді $A\cup B=S^{n}\setminus h(S^{k-1})$ і $A\cap B=S^{n}\setminus h(S^{k}).$ Також із попереднього всі редуковані сингулярні групи просторів $A,B$ тривіальні. Підставляючи простори у послідовність Маєра — Вієторіса одержуємо ізоморфізми ${\tilde {H}}_{i}(S^{n}\setminus h(S^{k})\simeq {\tilde {H}}_{i+1}(S^{n}\setminus h(S^{k-1}).$ Але за припущенням індукції ${\tilde {H}}_{n-k+2}(S^{n}\setminus h(S^{k-1})=\mathbb {Z}$ і всі інші редуковані сингулярні групи для $S^{n}\setminus h(S^{k-1})$ є тривіальними. Тому з одержаного ізоморфізму ${\tilde {H}}_{n-k+1}(S^{n}\setminus h(S^{k})=\mathbb {Z}$ і всі інші редуковані сингулярні групи для $S^{n}\setminus h(S^{k})$ тривіальні, що й треба було довести.