Таблиця істинності

Табли́ця і́стинності — математична таблиця, що широко використовується у математичній логіці зокрема в алгебрі логіки, численні висловлень для обчислення значень булевих функцій.

В двозначній логіці вони можуть приймати значення «істина» або «хиба» ( $~true$ або $~false$ , $~1$ або $~0$ ).

Табличне задання функцій зустрічається не тільки в логіці, але для логічних функцій таблиці виявилися особливо зручними, і з початку 20 століття за ними закріпилася ця спеціальна назва.

Таблиці істинності для логічних операцій

$\mathbf {A}$	Заперечення $\mathbf {\lnot A}$	Тавтологія $\top$	Протиріччя $\bot$
0	1	1	0
1	0	1	0

$\mathbf {A}$	$\mathbf {B}$	Кон'юнкція, AND $A\land B$	Диз'юнкція, OR $A\lor B$	Виключна диз'юнкція, XOR $A\oplus B$	Еквівалентність, XNOR $\ A\leftrightarrow B$	Імплікація $\ A\rightarrow B$	Неімплікація $\ A\nrightarrow B$	Обернена імплікація $\ A\leftarrow B$	Обернена неімплікація $\ A\nleftarrow B$	Штрих Шефера, NAND $\ A\|B$	Стрілка Пірса, NOR $\ A\downarrow B$
0	0	0	0	0	1	1	0	1	0	1	1
0	1	0	1	1	0	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	1	0
1	1	1	1	0	1	1	0	1	0	0	0
альтернативне позначення		$AB$	$A+B$	$A{\underline {\lor }}B$	$A{\overline {\underline {\lor }}}B$	$A\Rightarrow B$	$A\nRightarrow B$	$A\Leftarrow B$	$A\nLeftarrow B$	$A{\overline {\land }}B$	$A{\overline {\lor }}B$
графічно

Використання

З використанням таблиць істинності можна обчислити значення деяких логічних виразів (формул) через значення аргументів, що входять в них, а також довести еквівалентність двох формул. Наприклад:

**Логічна еквівалентність : $(p\rightarrow q)=(\lnot p\lor q)$**
$p\;$	$q\;$	$\lnot p\;$	$\lnot p\lor q\;$	$p\rightarrow q\;$
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	0	1	1

З цієї таблиці одержуємо, що вираз $~p\to q$ є еквівалентним $~\neg p\ \lor \ q$ .

За допомогою таблиць істинності можна доволі просто довести, що деякі формули є тавтологіями тобто приймають значення «Істина» при будь-яких значеннях аргументів. Наприклад:

{\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c|}\hline p&q&r&p\lor q&\neg (p\lor q)&p\to r&\neg (p\lor q)\to (p\to r)\\\hline 1&1&1&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0&1\\1&0&1&1&0&1&1\\1&0&0&1&0&0&1\\0&1&1&1&0&1&1\\0&1&0&1&0&1&1\\0&0&1&0&1&1&1\\0&0&0&0&1&1&1\\\hline \end{array}}

Див. також

Джерела

Дрозд Ю. А. (2004). Дискретна математика (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 70. (укр.)
Дрозд Ю. А. (2005). Основи математичної логіки (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 96. (укр.)
Weisstein, Eric W. Таблиця істинності(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Таблиця істинності на PlanetMath.(англ.)
Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), істинності Таблиця істинності, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4