Сітка Вульфа

Сітка Вульфа в кристалографії — стереографічна екваторіальна проєкція градусної сітки сфери з розташованого на її екваторі центра проєкції, здійснювана на площину меридіана, віддаленого на 90° від вибраного центру. Цей меридіан називають основним меридіаном сітки. Меридіани і паралелі сітки Вульфа грають допоміжну роль як проєкції дуг великих і малих кіл сфери. Точки сходження меридіанів називають полюсами сітки; відрізок прямої, що з'єднує полюси сітки, називають віссю сітки; відрізок прямої, рівновіддалений від полюсів і перпендикулярний до осі, називають екватором сітки.

Екваторіальна сітка Вульфа з кроком координат 10°

Всі побудови і перетворення з використанням сітки Вульфа проводяться на кальці, на яку переносять центр сітки, її основний меридіан, вісь і екватор, а також наносять точки, сферичні координати яких потрібно перетворити. Повороти кальки виконують зі збереженням центрування відносно сітки.

Сітку Вульфа зазвичай будують із кроком координат 2°.

Метод винайшов кристалограф Георгій Вульф.

Приклади застосування

Сітка Вульфа дозволяє графічно, без додаткових розрахунків розв'язувати багато задач геометричної кристалографії, пов'язаних із кутовими характеристиками кристалів, а також навігаційні та астрометричні задачі.

За допомогою сітки Вульфа будується стереографічна екваторіальна проєкція точки, заданої своїми сферичними координатами $\phi$₁ і $\rho$₁. Поворотом кальки навколо центра сітки на необхідний кут з урахуванням його знака отримують кінцеві координати точки $\phi$₂ і $\rho$₂ на сітці. Залежно від класу розв'язуваних задач, координати точок на сітці можуть задаватися по-різному.

У кристалографії прийнято такий порядок зазначення координат: кути $0^{\circ }\leq \phi <360^{\circ }$ відраховують по колу сітки Вульфа, додатний напрямок — за годинниковою стрілкою, починаючи від правого кінця її екватора; кути $0^{\circ }\leq \rho \leq 180^{\circ }$ — уздовж осі й екватора, від центра сітки, при цьому діапазон $90^{\circ }<\rho \leq 180^{\circ }$ відповідає проєкціям точок, що лежать під площиною основного меридіана. Центр сітки відповідає координатам $\rho =0^{\circ }$ і $\rho =180^{\circ }$; правий кінець екватора — $\rho =90^{\circ },\phi =0^{\circ }$; лівий кінець екватора — $\rho =90^{\circ },\phi =180^{\circ }$; «верхній» полюс — $\rho =90^{\circ },\phi =270^{\circ }$; «нижній» полюс — $\rho =90^{\circ },\phi =90^{\circ }$.

У геодезичному, навігаційному або астрографічному застосуванні сітки прийнято такий порядок зазначення координат: кути $-90^{\circ }\leq \phi \leq +90^{\circ }$, відповідні широті, схиленню або висоті над горизонтом, відраховуються по колу сітки Вульфа, додатний напрямок — за годинниковою стрілкою, починаючи від лівого кінця її екватора; кути $0^{\circ }\leq \lambda <360^{\circ }$, відповідні довготі, прямому сходженню або годинному куту — уздовж екватора сітки від правого його кінця. Положення точок з координатами $\lambda >180^{\circ }$ знаходять за правилом $360^{\circ }-\lambda$. Центр сітки має координати $\lambda =90^{\circ }$ і $\lambda =270^{\circ }$.

У контексті розв'язків навігаційних задач сітка може представляти необхідну систему сферичних координат, наприклад, екваторіальну, тоді Північний полюс відображається на верхній полюс сітки, Південний полюс — на нижній полюс сітки, небесний екватор — на екватор сітки; меридіан спостерігача збігається з основним меридіаном сітки. Зеніт і надир містяться в точках, відповідних географічній широті місця розташування спостерігача: в точках $(\phi ,\lambda =180^{\circ })$ і $(-\phi ,\lambda =0^{\circ })$ відповідно. В цьому випадку уздовж основного меридіана відраховуються схилення світил, а уздовж екватора сітки — годинний кут.

За використання горизонтальної системи координат — зеніт і надир містяться у відповідних полюсах сітки, екватор сітки відповідає істинному горизонту спостерігача. Меридіан спостерігача збігається з основним меридіаном сітки. Полюси світу містяться на основному меридіані в точках $(90^{\circ }-\phi )$ і $(-90^{\circ }+\phi )$ відповідно. Точка півночі (N) відображається на правий кінець екватора, точка півдня (S) — на лівий, точки сходу і заходу — в центр сітки. В цьому випадку уздовж основного меридіана сітки (від точки півдня) відраховують висоти світил над горизонтом; уздовж екватора сітки (від точки Півночі) — справжні пеленги світил.

Поворотом кальки навколо центра сітки на відповідний кут проводиться перетворення координат світила з горизонтальної в екваторіальну систему координат і назад.

Спосіб побудови сітки Вульфа

Порядок побудови сітки Вульфа

Скористаємося тією властивістю стереографічної екваторіальної проєкції, що меридіани й паралелі сітки Вульфа є дугами кіл.

Накресліть коло радіуса $R$ із центром у точці $C$, побудуйте два взаємно-перпендикулярних діаметри $P_{1}-P_{2}$ і $Q_{1}-Q_{2}$. Додатні значення кута $\phi$ відраховують за годинниковою стрілкою від точки $Q_{2}$. Вибравши бажаний крок координатної сітки, знайдіть на колі $P_{1}Q_{2}P_{2}Q_{1}$ допоміжну точку $A_{\phi }$, яка відміряє на колі дугу $Q_{2}-A_{\phi }$, кратну вибраному кроку за кутом $\phi$. Знайдіть на промені $C-P_{2}$ допоміжну точку $O_{\phi }$, що лежить на відстані $r_{\phi }={\frac {R}{\tan \phi }}$ від точки $A_{\phi }$. Взявши точку $O_{\phi }$ за центр, прокресліть від точки $A_{\phi }$ дугу радіусом $r_{\phi }$ всередині кола; паралель широти $\phi$ побудовано. Паралелі другої половини сітки будують так само, але кути $\phi$ відраховують від точки $Q_{1}$ і допоміжні точки розташовують на промені $C-P_{1}$.

Для побудови меридіанів сітки з вибраним кроком, обчислюйте положення допоміжної точки $O_{\lambda }$, що лежить на промені $C-Q_{2}$ на відстані $r_{\lambda }={\frac {R}{\sin \lambda }}$ від будь-якого полюса. Взявши точку $O_{\lambda }$ за центр, прокресліть між полюсами $P_{1}$ і $P_{2}$ дугу радіусом $r_{\lambda }$; меридіан довготи $\lambda$ побудовано. Меридіани другої половини сітки будують так само, але допоміжні точки розташовують на промені $C-Q_{1}$.

Див. також

• Стереографічна сітка

Посилання

• Вульфа сетка // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / главн. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1969—1978. (рос.)
• Вульф Г.В. Способ графического решения задач по космографии и математической географии. — Нижний Новгород, 1909.