Сферичні гармоніки

Сфери́чні гармо́ніки — набір ортонормованих функцій двох кутових змінних $\theta$ і $\varphi$, які складають повний базис функцій сферичного кута.

Візуальне зображення перших декількох сферичних гармонік. Червоний колір вказує на додатність функції, зелений на від'ємність.

Сферичні гармоніки позначаються $Y_{l,m}(\theta ,\varphi )$, де l = 0,1,2…, а m пробігає значення від -l до l.

${\textstyle Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}{\sqrt {{\frac {2l+1}{4\pi }}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}P_{l}^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi }}$,

де $P_{l}^{|m|}(x)$ - приєднані поліноми Лежандра.

Сферичні гармоніки є власними функціями оператора кутового моменту.

Множник в означенні сферичних гармонік вибирається з умови нормування

$\int Y_{l^{\prime },m^{\prime }}^{*}(\theta ,\varphi )Y_{l,m}(\theta ,\varphi )d\Omega =\delta _{l,l^{\prime }}\delta _{m,m^{\prime }}$,

де інтегрування проводиться по повному сферичному куту, а $\delta _{l,l^{\prime }}$ - символ Кронекера.

Деякі сферичні гармоніки з малими l

$Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {1 \over \pi }}$

$Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }$

$Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\,\cos \theta$

$Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }$

$Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }$

$Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }$

$Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\,(3\cos ^{2}\theta -1)$

$Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }$

$Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }$

Посилання

• Розрахунок коефіцієнтів сферичної гармоніки з кубічної текстури — Переглянуто: 15 жовтня 2014
• Розрахунок освітлення з допомогою сферичних гармонік в OpenGL — Переглянуто: 15 жовтня 2014