Суми Рамануджана

Суми Рамануджана — тригонометричні суми, залежні від двох цілочислових параметрів і , виду:

де и .

ВластивостіРедагувати

Основною властивістю сум Рамануджана є їх мультиплікативність щодо індексу  , тобто

 

якщо  .

Суми   можна записати через функцію Мебіуса  :

 

Суми Рамануджана обмежені при обмежених або  , або  . Так, наприклад  .

Тригонометричні формулиРедагувати

 

Застосування сум РамануджанаРедагувати

Багато мультиплікативних функцій від натурального аргументу можуть бути розкладені в ряди по  . Вірним є і обернене твердження.

Основні властивості сум дозволяють обчислювати суми вигляду:

 

де   — мультиплікативна функція  ціле число   — в загальному випадку, комплексне.

У простому випадку, можна одержати

 

де  дзета-функція Рімана   — сума  -х степенів дільників числа  .

Такі суми тісно пов'язані з особливими рядами деяких адитивних проблем теорії чисел, наприклад, представлення натуральних чисел у вигляді парного числа квадратів.

ЛітератураРедагувати

  1. Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1918. — v. 22. — p. 259—276.
  2. Hardy G. H. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20. — p. 263—271.
  3. Ramanujan S. Collected papers. — Cambridge, 1927. — p. 137—141.
  4. Volkmann В. Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1974. — Bd 271. — S. 203—213.
  5. Титчмарш, E. К. {{{Заголовок}}}. — ISBN 5114800906..
  6. Левин В. И. Историко-математические исследования. — т. 13. — М.: ВИНИТИ, 1960.