Стала Чіґера

Ізопериметри́чною ста́лою Чі́ґера компактного ріманового многовиду $M$ називають додатне дійсне число $h(M)$, що визначається через найменшу площу гіперповерхні, яка ділить $M$ на дві частини рівного об'єму, що не перетинаються. 1970 року Джеф Чіґер довів нерівність, що пов'язує перше нетривіальне власне число оператора Лапласа — Бельтрамі на $M$ з числом $h(M)$. Це доведення дуже вплинуло на ріманову геометрію і сприяло створенню аналогічної концепції в теорії графів.

Визначення

Нехай $M$ — $n$-вимірний замкнутий ріманів многовид. Позначимо через $V(A)$ об'єм довільного $n$-вимірного підмноговиду $A$; через $S(E)$ позначимо $n-1$-вимірний об'єм підмноговиду $E$ (зазвичай у цьому контексті його називають «площею»). Тоді ізопериметрична стала Чіґера многовиду $M$ визначається як

$h(M)=\inf _{E}{\frac {S(E)}{\min(V(A),V(B))}},$

де інфімум береться за всіма гладкими $n-1$-вимірними підмноговидами $E$ многовиду $M$, які ділять його на два неперетинних підмноговиди $A$ і $B$. Ізопериметричну сталу можна визначити і для некомпактних ріманових многовидів скінченного об'єму.

Нерівність Чіґера

Стала Чіґера $h(M)$ та найменше додатне власне число оператора Лапласа ${\lambda _{1}(M)}$ пов'язані такою фундаментальною нерівністю, яку довів Чіґер:

$\lambda _{1}(M)\geq {\frac {h^{2}(M)}{4}}.$

Ця нерівність оптимальна в такому сенсі: для будь-якого $h>0$, натурального числа $k$ і $\varepsilon >0$ існує двовимірний ріманів многовид $M$ з ізопериметричною сталою $h(M)=h$ і такий, що $k$-те власне число оператора Лапласа лежить на відстані не більше $\varepsilon$ від межі Чіґера (Бузер, 1978).

Нерівність Бузера

Пітер Бузер знайшов вираз для верхньої межі ${\lambda _{1}(M)}$ через ізопериметричну константу $h(M)$. Нехай $M$ — $n$-вимірний замкнутий ріманів многовид, кривина Річчі якого обмежена зверху числом $-(n-1)a^{2}$ де $a\geq 0$.

Тоді

$\lambda _{1}(M)\leq 2a(n-1)h(M)+10h^{2}(M).$

Див. також

• Стала Чіґера (теорія графів)
• Ізопериметрична нерівність

Посилання

• Peter Buser, A note on the isoperimetric constant. — Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 15 (1982), no. 2, 213—230 MR0683635
• Peter Buser, «Über eine Ungleichung von Cheeger». — Math. Z. 158 (1978), no. 3, 245—252. MR0478248
• Джеф Чіґер, A lower bound for the smallest eigenvalue of the Laplacian. — Problems in analysis (Papers dedicated to Salomon Bochner, 1969), pp. 195—199. Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1970 MR0402831
• Олександр Любоцький, Discrete groups, expanding graphs and invariant measures. — Progress in Mathematics, vol 125, Birkhäuser Verlag, Basel, 1994