Функтор Hom

В теорії категорій множини Hom (тобто множини морфізмів між двома об'єктами локально малої категорії) дозволяють визначити важливі функтори в категорію множин. Ці функтори називаються функторами Hom і мають численні застосування в теорії категорій та інших галузях математики.

Означення

Нехай C — локально мала категорія. Тоді для будь-яких її об'єктів A, B визначено такі два функтора:

Hom(A,–) : C → Set	Hom(–,B) : C → Set
Коваріантний функтор, що задається як: Hom(A,-) відображає кожен об'єкт X категорії C у множину морфізмів Hom(A,X) Hom(A,-) відображає кожен морфізм f: X → Y у функцію Hom(A, f): Hom(A, X) → Hom(A,Y), що задається як $g\mapsto f\circ g$ для кожного g в Hom(A, X).	Контраваріантний функтор, що задається як: Hom(-,B) відображає кожен об'єкт X категорії C у множину морфізмів Hom(X, B) Hom(-,B) відображає кожен морфізм h: X→Y у функцію Hom(h, B): Hom(Y,B) → Hom(X,B), що задається як $g\mapsto g\circ h$ для кожного g в Hom(Y,B).

Функтор Hom(-,B) також називають функтором точок об'єкта B.

Функтори Hom(A,–) і Hom(–,B) пов'язані між собою у натуральний спосіб. Для будь-якої пари морфізмів f : B → B′ і h : A′ → A діаграма нижче комутує:

В обох випадках g : A → B переводиться у f ∘ g ∘ h.

Також можна визначити біфунктор Hom(-, -) з C×C в Set, контраваріантний по першому аргументу і коваріантний по другому або, еквівалентно, функтор

Hom (-, -): C^op × C → Set

де C^op — двоїста категорія до C.

Внутрішній функтор Hom

У деяких категоріях можна ввести функтор, який схожий з функтором Hom, але значення якого лежать в самій категорії. Такий функтор називають внутрішнім функтором Hom і позначають

${\text{hom}}(-,-):C^{op}\times C\to C$

Категорії, що допускають внутрішній Hom-функтор, називаються замкнутими категоріями. Функтор $U:C\to {\textbf {Set}}$ в таких категоріях переводить внутрішній функтор Hom у зовнішній. Точніше,

$U\circ {\text{hom}}(-,-)\simeq {\text{Hom}}(-,-)$

де $\simeq$ позначає натуральний ізоморфізм, натуральний за обома «аргументами». Оскільки в замкнутій категорії $A\cong {\text{hom}}(I,A)$ (тут I — одиниця замкнутої категорії), це можна переписати як

${\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)$

У випадку замкнутої моноїдальної категорії це означення можна розширити до так званого каррінгу, тобто ізоморфізму

${\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)$

де $Y\Rightarrow Z$ це ${\text{hom}}(Y,Z)$.

Пов'язані означення

• Функтор виду Hom (-, C): C^op → Set є передпучком; відповідно, Hom(C, -) можна називати копередпучком.
• Функтор F: C → Set, який є натурально ізоморфним Hom (X, -) для деякого об'єкта C називається зображуваним функтором.
• Hom (-, -): C^op×C → Set є профунктором, а саме тотожним профунктором ${\text{id}}_{C}\colon C\nrightarrow C$.
• Внутрішній функтор hom зберігає границі; а саме, ${\text{hom}}(X,-):C\to C$ переводить границі в границі, а ${\text{hom}}(-,X):C^{\text{ op}}\to C$ — границі в кограниці. У певному сенсі, це можна вважати визначенням границі або кограниці.
• Функтор Hom — приклад точного зліва функтора.

Див. також

• Лема Йонеди

Література

• Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. Москва: Мир, 1972. 259 с.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — Москва: Наука, 1974.
• Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1.