Формула повної ймовірності

Формула повної ймовірності дозволяє обчислити ймовірність деякої події через умовні ймовірності цієї події в припущенні якихось гіпотез, а також ймовірностей цих гіпотез.

Визначення

Нехай дано імовірнісний простір $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, і повна група подій $\{B_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}$, таких що $\mathbb {P} (B_{n})>0\;\forall n$. Хай $A\in {\mathcal {F}}$ подія, що нас цікавить. Тоді

$\mathbb {P} (A)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\mid B_{n})\mathbb {P} (B_{n})$.

Зауваження

Формула повної ймовірності також має наступну інтерпретацію. Нехай $N$ — випадкова величина, що має розподіл

$\mathbb {P} (N=n)=\mathbb {P} (B_{n})$.

Тоді

$\mathbb {P} (A)=\mathbb {E} \left[\mathbb {P} (A\mid N)\right]$,

тобто апріорна ймовірність події рівна середньому його апостеріорної ймовірності.

Приклади

Приклад 1

Задача:

Припустимо, прогноз погоди показує, що завтра з ймовірністю 0.6 (60%) буде сонячна погода. Відповідно те, що погода буде дощовою, дорівнює 0.4 (так як сума імовірностей подій, що складають повну групу дорівнює одиниці, тобто 100 відсоткам).

Також в нас є деякі дані по прогнозу на післязавтра: Якщо завтра буде сонячно, то ймовірність того, що післязавтра буде сонячно дорівнює 0.7

P(D2 = сонячно | D1 = сонячно) = 0.7

Якщо завтра буде дощ, то ймовірність того, що післязавтра буде сонячно дорівнює 0.4

P(D2 = сонячно | D1 = дощ) = 0.4

Знайти ймовірність того, що післязавтра буде сонячно.

Розв'язок:

Необхідно знайти дві події:

1. ймовірність того що і завтра і післязавтра буде сонячно. Вирахуємо це по теоремі добутку залежних подій: P(D2 = сонячно | P(D1 = сонячно)) * P(D1 = сонячно) = 0.7*0.6 = 0.42

2. Ймовірність того що завтра буде дощ а післязавтра буде сонячно.

P(D2 = сонячно | P(D1 = дощ)) * P(D1 = дощ) = 0.4*0.4 = 0.16

Після цього, необхідно скласти ймовірності цих двох подій. В результаті отримаємо ймовірність сонячної погоди післязавтра рівною 58%

Приклад 2

Припустимо, що дві різні фабрики виробляють електричні лампочки. Лампи фабрики X' працюватимуть довше 5000 годин в 99% випадків, в той час як лампочки фабрики Y' працюватиме довше 5000 годин в 95% випадків. Відомо, що фабрика X поставляє 60% ламп, від загально доступної кількості, а фабрика Y поставляє решту 40% ламп. Який шанс, що придбана лампа працюватиме довше ніж 5000 годин?

Застосовуючи формулу повної ймовірності, маємо:

${\begin{aligned}P(A)&=P(A\mid B_{X})\cdot P(B_{X})+P(A\mid B_{Y})\cdot P(B_{Y})\\[4pt]&={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000}={974 \over 1000}\end{aligned}}$

де

• $P(B_{X})={6 \over 10}$ — імовірність, що придбана лампа була виготовлена фабрикою X;
• $P(B_{Y})={4 \over 10}$ — імовірність, що придбана лампа була виготовлена фабрикою Y;
• $P(A\mid B_{X})={99 \over 100}$ — імовірність що лампа, виготовлена фабрикою X працюватиме більше ніж 5000 годин;
• $P(A\mid B_{Y})={95 \over 100}$ — імовірність що лампа, виготовлена фабрикою Y працюватиме більше ніж 5000 годин.

Таким чином існує імовірність в 97.4%, що кожна придбана лампа буде працювати більше ніж 5000 годин.

Див. також

• Правило повного математичного сподівання
• Імовірність
• Умовна ймовірність
• Умовне математичне сподівання
• Теорема Баєса

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. — Springer Verlag 2004. — ISBN 9781852337810
• Williams D. Probability with Martingales/ — Cambridge University Press, 1991/ — ISBN 0-521-40605-6