Теорема Рауса

Теорема Рауса визначає відношення між площами даного трикутника і трикутника, утвореного трьома попарно перетинними чевіанами. Теорема стверджує, що якщо в трикутнику $ABC$ точки $D$, $E$ і $F$ лежать на сторонах $BC$, $CA$ і $AB$ відповідно, то, якщо позначити ${\tfrac {CD}{BD}}$$=x$, ${\tfrac {AE}{CE}}$$=y$ і ${\tfrac {BF}{AF}}$$=z$, орієнтована площа трикутника, утвореного чевіанами $AD$, $BE$ і $CF$ відносно площі трикутника $ABC$ виражається співвідношенням

${\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}}$

Теорему довів Едвард Раус на 82 сторінці його Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples 1896 року. В окремому випадку, $x=y=z=2$ теорема перетворюється на відому теорему про одну сьому площі трикутника. В разі $x=y=z=1$ медіани перетинаються в центроїді.

Доведення

Нехай площа трикутника $ABC$ дорівнює $1$. Для трикутника $ABD$ і лінії $FRC$, за теоремою Менелая, отримаємо:

${\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1$

Тоді ${\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}$. Тому площа трикутника $ARC$ дорівнює

$S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}$

Аналогічно, отримуємо: $S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}$ і $S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}$.

Таким чином, площа трикутника $PQR$ дорівнює:

$\displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}$

$=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}$

$={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.$

Посилання

• Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) «Three more proofs of Routh's theorem», Crux Mathematicorum 7: 199—203.
• HSM Coxeter (1969) Introduction to Geometry, pp. 211, 219—220, 2nd edition, Wiley, New York.
• JS Kline, D. Velleman. (1995) «Yet another proof of Routh's theorem» (1995) Crux Mathematicorum 21: 37-40
• Jay Warendorff. Routh 's Theorem [Архівовано 6 серпня 2019 у Wayback Machine.] The Wolfram Demonstrations Project .
• Weisstein, Eric W. Routh's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Routh's Theorem by Cross Products — MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh's theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.