Одна сьома площі трикутника

геометрична побудова

У евклідовій геометрії трикутнику ABC містить трикутник, площа якого становить одну сьому площі ABC, який можна побудувати так: сторони цього трикутника лежать на променях p, q, r, де

Площа рожевого трикутника становить одну сьому площі великого трикутника ABC.
  • p з'єднує A з точкою на BC, віддаленою від B на третину відстані від B до C,
  • q з'єднує B з точкою на CA, віддаленою від C на третину відстані від C до A,
  • r з'єднує C з точкою на AB, віддаленою від A на третину відстані від A до B.

Доведення рівності площі одній сьомій площі початкового трикутника випливає з побудови шести паралельних прямих:

  • дві паралельні p, одна через C, інша через q.r
  • дві паралельні q, одна через A, інша через r.p
  • дві паралельні r, одна через B, інша через p.q.

Гуго Штейнгауз запропонував відбити (центральний) трикутник зі сторонами p, q, r відносно його сторін і вершин.[1] Ці шість додаткових трикутників частково покривають ABC і залишають шість «звисаючих» зайвих трикутників, що лежать поза ABC. Зважаючи на паралельність під час побудови (як показав Мартін Гарднер у он-лайн журналі Джеймса Ренді), очевидні парні збіги «звисаючих» та відсутніх частин АВС. Як видно з графічного розв'язку, шість відбитих трикутників разом з оригіналом дорівнюють цілому трикутнику ABC.[2]

Graphical solution to the one-seventh area triangle problem.
Збіг довжин сторін дозволяє обертати вибрані трикутники, утворюючи три паралелограми рівної площі, які діляться навпіл на шість трикутників однакового розміру з початковим внутрішнім трикутником.

1859 року цю геометричну побудову та обчислення площі навів у своєму підручнику з евклідової геометрії Роберт Поттс.[3]

За словами Кука та Вуда (2004), цей трикутник спантеличив Річарда Фейнмана під час обідньої розмови; вони надають чотири різні доведення.[4]

Загальніший результат відомий як теорема Рауса.

ПриміткиРедагувати

  1. Hugo Steinhaus (1960) Mathematical Snapshots
  2. Джеймс Ренді (2001) That Dratted Triangle, доведення Мартіна Гарднера
  3. Robert Potts (1859) Euclid's Elements of Geometry, Fifth school edition, задачі 59 і 100, стор. 78 і 80 в Інтернет-архіві
  4. R.J. Cook & G.V. Wood (2004) «Feynman's Triangle», Mathematical Gazette 88:299–302

ЛітератураРедагувати