Кватерніон можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:
- ,
множення кватерніонів буде виражатись через скалярний та векторний добутки 3-вимірних векторів:
Виразимо векторний добуток через добуток кватерніонів:
Поворот точки навколо осі в 3-вимірному просторі
ред.
Покажемо що результатом повороту вектора на кут відносно осі (одиничний вектор) буде: , де
- — чисто векторний кватерніон,
- — чисто векторний кватерніон,
-
Перепишемо останній кватерніон в іншій формі:
-
-
Спершу обчислимо необхідний нам вираз (використали властивість подвійного векторного добутку):
-
Обчислимо добуток:
-
-
де та компоненти вектора паралельні і перпендикулярні до відповідно:
-
-
-
Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших.
Кількість операцій
ред.
Обчислення результату двох поворотів
|
Зберігання |
Множення |
Додавання
|
Матриця повороту |
9 |
27 |
18
|
Кватерніон |
4 |
16 |
12
|
Обчислення повороту точки
|
Зберігання |
Множення |
Додавання
|
Матриця повороту |
9 |
9 |
6
|
Кватерніон |
4 |
15 |
12
|
Матриця повороту
ред.