Формула повороту Родрігеса

У теорії тривимірних обертань, формула повороту Родрігеса (названа на честь Олінда Родрігеса) — дієвий алгоритм для обертання вектора у просторі, за заданими віссю та кутом.

Якщо $\mathbf {v}$ — вектор у $\mathbb {R} ^{3}$ і $\mathbf {k}$ — одиничний вектор, що описує вісь обертання, навколо якої ми хочемо повернути $\mathbf {v}$ на кут $\theta$, то формула Родрігеса має вигляд:

$\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} \cos \theta +(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )\sin \theta +\mathbf {k} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )(1-\cos \theta ).$

Виведення

Формула обертання Родрігеса обертає v на кут θ навколо осі z через розкладання його на складові паралельні і перпендикулярні до z, і, обертаючи тільки перпендикулярну складову

Для певної осі обертання z, яка представлена одиничним вектором k = (k_X, k_Y, k_Z), і вектором v = (v_X, v_Y, v_Z), який ми хочемо повернути, вектор

$\mathbf {v} _{z}=(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {k}$

є складовою v паралельною до z, також відомою як проєкція вектора v на k, і вектор

$\mathbf {v} _{x}=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{z}=\mathbf {v} -(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {k}$

є проєкцією v на площину xy ортогональну до z, відомою як відкидання вектора.

Зауважте, що ми вибрали систему відліку xyz, в якій z вісь вирівняна з віссю повороту, а x вісь з відкиданням вектора v від k. Це спрощує демонстрацію, бо це має на увазі, що v лежить у площині xz і його складова v_y є нулем. Однак, xyz не збігається з XYZ в якій вектори v, k, v_x і v_z представлені. Наприклад, v = (v_X, v_Y, v_Z) ≠ (v_x, v_y, v_z). Інакше кажучи, формула Родрігеса незалежна від орієнтації в просторі системи відліку XYZ у якій v і k представлені.

Далі

$\mathbf {w} =\mathbf {k} \times \mathbf {v}$.

Зауважимо, що v_x і w мають одну й ту саму довжину. За визначенням векторного добутку, довжина w становить:

$|\mathbf {w} |=|\mathbf {k} \times \mathbf {v} |=|\mathbf {k} |\,|\mathbf {v} |\sin \varphi \$

де φ позначає кут між z і v. з того, що k має одиничну довжину,

$|\mathbf {w} |=|\mathbf {k} \times \mathbf {v} |=|\mathbf {v} |\sin \varphi .$

Це збігається з довжиною v_x, обрахованою тригонометрично так:

$|\mathbf {v} _{x}|=|\mathbf {v} |\cos(\pi /2-\varphi )=|\mathbf {v} |\sin \varphi .$

Отже w можна розглядати як копію v_x обернуту на 90° навколо z. Використовуючи тригонометрію, ми можемо повернути v_x на θ навколо z, щоб отримати v_{x rot}. Його два компоненти щодо x і y є v_xcosθ і wsinθ, відповідно. Таким чином,

${\begin{aligned}\mathbf {v} _{x\ \mathrm {rot} }&=\mathbf {v} _{x}\cos \theta +\mathbf {w} \sin \theta \\&=(\mathbf {v} -(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {k} )\cos \theta +(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )\sin \theta .\end{aligned}}$

v_{x rot} також можна записати як проєкцію на xy вектора, який ми повертаємо, v_rot. Тому що поворот навколо z не зачіпає v_z, другий компонент v_rot (тобто проєкція на z) збігається з v_z. Отже,

${\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }&=\mathbf {v} _{x\ \mathrm {rot} }+\mathbf {v} _{z\ \mathrm {rot} }\\&=\mathbf {v} _{x\ \mathrm {rot} }+\mathbf {v} _{z}\\&=(\mathbf {v} -(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {k} )\cos \theta +(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )\sin \theta +(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {k} \\&=\mathbf {v} \cos \theta +(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )\sin \theta +\mathbf {k} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )(1-\cos \theta ),\end{aligned}}$

як і вимагалось.

Матричний запис

Представивши v і k у вигляді вектор-стовпців і $\mathbf {k}$ як матрицю векторного добутку $[\mathbf {k} ]_{\times }$, тобто,

$[\mathbf {k} ]_{\times }\mathbf {v} =\mathbf {k} \times \mathbf {v} =\left[{\begin{array}{ccc}0&-k_{3}&k_{2}\\k_{3}&0&-k_{1}\\-k_{2}&k_{1}&0\end{array}}\right]\mathbf {v}$,

Формулу Родрігеса можна записати так:

${\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }&=\mathbf {v} \cos \theta +([\mathbf {k} ]_{\times }\mathbf {v} )\sin \theta +\mathbf {k} (\mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {v} )(1-\cos \theta )\\&=\mathbf {v} \cos \theta +[\mathbf {k} ]_{\times }\mathbf {v} \sin \theta +\mathbf {k} \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {v} (1-\cos \theta ).\end{aligned}}$

Використовуючи розклад потрійного векторного добутку, це можна записати як:

${\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }&=([\mathbf {k} ]_{\times }\mathbf {v} )\sin \theta +(\mathbf {k} (\mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {v} )-\mathbf {v} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} ))(1-\cos \theta )+\mathbf {v} (\mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {k} )\\&=\mathbf {v} +([\mathbf {k} ]_{\times }\mathbf {v} )\sin \theta +([\mathbf {k} ]_{\times }[\mathbf {k} ]_{\times }\mathbf {v} )(1-\cos \theta ).\end{aligned}}$

бо $\mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {k} =1$ для нормалізованого вектора.

Остаточно, матриця повороту така:

$\mathbf {R} =\mathbf {I} +(\sin \theta )[\mathbf {k} ]_{\times }+(1-\cos \theta )[\mathbf {k} ]_{\times }[\mathbf {k} ]_{\times }~.$

Кватерніони і формула повороту

Якщо ми хочемо повернути $\mathbf {v}$ на кут $\theta$ навколо $\mathbf {k}$, тоді ми можемо записати це як кватерніон $q=(\cos(\theta /2),\sin(\theta /2)).$ Це одиничний кватерніон.

Тоді $p_{rot}=qvq^{-1}$, що після виконання множень переходить у формулу повороту Родрігеса.

Див. також

• Кватерніони і повороти простору

Посилання

• Weisstein, Eric W. Формула повороту Родрігеса(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.