SIC-POVM

Симетрична, інформаційно повна, невід'ємна операторно-значна міра (СІП-НОЗМ, англ. SIC-POVM) — частковий випадок узагальненого квантовомеханічного вимірювання в гільбертовому просторі. Такий специфічний різновид вимірювання, який має певні корисні властивості, є перспективним кандидатом для «стандартного квантового вимірювання», яке є одним з фундаментальних понять основ квантової механіки. Більш того, оператори SIC-POVM застосовуються у томографії квантового стану і квантовій криптографії.

Означення

Через той факт, що оператори SIC-POVM використовуються насамперед у квантовій механіці, елементи гільбертового простору представлятимуться за допомогою позначень Дірака.

У загальному випадку, набір операторів POVM у $d$-мірному гільбертовому просторі ${\mathcal {H}}$ визначається як такий набір $M$ додатно напіввизначених операторів $\{F_{i}\}$ у гільбертовому просторі, що їх сума дорівнює одиничній матриці:

$\sum _{i=1}^{M}F_{i}=I.$

Набір операторів SIC-POVM, який є частковим випадком POVM, складається з нормованих проєкторів, що мають один відносно одного властивості симетрії та інформаційної повноти. Умова інформаційної повноти означає, що набір ймовірностей спостереження різних результатів вимірювання будь-якого квантового стану за схемою SIC-POVM повністю визначає цей стан. Для виконання цієї умови набір SIC-POVM повинен складатися з $d^{2}$ лінійно незалежних операторів. У свою чергу, умова симетрії означає, що внутрішній добуток усіх пар нормованих проєкторів $F_{i},F_{j}$ є постійним:

$\mathrm {Sp} \left(F_{i}F_{j}\right)={\frac {\mathrm {Sp} \left(\Pi _{i}\Pi _{j}\right)}{d^{2}}}={\frac {\left|\langle \psi _{i}|\psi _{j}\rangle \right|^{2}}{d^{2}}}={\frac {1}{d^{2}(d+1)}},\quad i\neq j.$

Таким чином, поєднання умов симетрії та інформаційної повноти задає набір $M$, що складається з операторів виду

$F_{i}={\frac {1}{d}}\Pi _{i},$

де $\Pi _{i}$ — проєктор із рангом 1.

Властивості

Симетрія

Як означено вище, попарно різні внутрішні добутки чистих станів мають дорівнювати константі. Оскільки ${\frac {1}{d}}\sum _{\alpha }\Pi _{\alpha }=I$, то цю константу $\mathrm {Sp} (\Pi _{\alpha }\Pi _{\beta })=\mu ^{2}\;$ можна визначити наступним чином:

$d=\mathrm {Sp} (I^{2})=\displaystyle {\frac {1}{d^{2}}}\sum _{\alpha ,\beta }\mathrm {Sp} (\Pi _{\alpha }\Pi _{\beta })=\displaystyle {\frac {1}{d^{2}}}\left(d^{2}+\mu ^{2}d^{2}(d^{2}-1)\right),$

звідки:

$\mathrm {Sp} \left(\Pi _{i}\Pi _{j}\right)=\left|\langle \psi _{i}|\psi _{j}\rangle \right|^{2}={\frac {1}{d+1}},\quad i\neq j.$

Зв'язок із рівнонахиленими базисами

У d-вимірному гільбертовому просторі, два різні базиси $\left\{|\psi _{i}\rangle \right\}$ та $\left\{|\phi _{j}\rangle \right\}$ називаються рівнонахиленими, якщо:

$\displaystyle |\langle \psi _{i}|\phi _{j}\rangle |^{2}={\frac {1}{d}},\quad \forall i,j\in \{1,\dots ,d\}.$

Це поняття за своєю сутністю схоже до властивості симетрії у SIC-POVM. Так, задача знаходження SIC-POVM еквівалентна до задачі знаходження рівнокутних прямих у C^d, тоді як повний набір рівнонахилених базисів можна представити у вигляді афінного простору. Можна показати, що геометрична структура, яка відповідає задачі знаходження повного набору $N+1$ рівнонахилених базисів, еквівалентна до геометричної структури, що відповідає SIC-POVM. Але треба відзначити, що еквівалентність цих задач справедлива у сенсі абстрактної геометрії, тому внаслідок того, що простори кожної з цих геометричних структур, взагалі кажучи, відрізняються, не можна точно гарантувати, що розв'язок на одному просторі безпосередньо відповідатиме розв'язкові на іншому.

Прикладом, де така еквівалентність дає результат, є випадок 6-вимірного гільбертового простору, в якому SIC-POVM було знайдено аналітично за допомогою математичного програмного забезпечення, але поки не було знайдено повного набору рівнонахилених базисів.

Див. також

• POVM
• Вимірювання (квантова механіка)
• Квантовий байєсіанізм
• Рівнонахилені базиси
• Томографія квантового стану