Рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова

Рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова (англ. Tolman–Oppenheimer–Volkoff equation, TOV) — рівняння в загальній теорії відносності й астрофізиці, яке описує структуру сферично симетричного тіла з ізотропного матеріалу, що перебуває в статичній гравітаційній рівновазі. Названо на честь Річарда Толмена, Роберта Оппенгеймера і Джорджа Волкова.

Загальний вигляд

Рівняння має вигляд:

${\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho \left(1+{\frac {P}{\rho c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P}{mc^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)^{-1}$

де:

• ${\textstyle r}$ — радіальна координата
• ${\textstyle \rho (r)}$ і ${\textstyle P(r)}$ — густина й тиск матеріалу на радіусі
• ${\textstyle m(r)}$ — загальна маса в межах радіуса ${\textstyle r}$.

Рівняння виведено з рівнянь Ейнштейна для стаціонарної сферично симетричної метрики. Для розв'язку рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова ця метрика має вигляд

$ds^{2}=e^{\nu }c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)$

де ${\textstyle \nu (r)}$ визначається формулою

${\frac {d\nu }{dr}}=-\left({\frac {2}{P+\rho c^{2}}}\right){\frac {dP}{dr}}$

Якщо доповнити рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова рівнянням стану, ${\textstyle F(\rho ,P)=0}$, яке пов'язує густину з тиском, то ці два рівняння повністю визначать структуру рівноважного сферично симетричного тіла з ізотропного матеріалу. Якщо знехтувати членами порядку ${\textstyle 1/c^{2}}$, рівняння Толмена — Оппенгеймера — Волкова перетворюється на рівняння гідростатичної рівноваги, яке використовують для знаходження рівноважної структури сферично симетричного тіла з ізотропного матеріалу, коли релятивістські ефекти не важливі.

Якщо рівняння використовують для моделювання обмеженої кулі у вакуумі, граничні умови мають вигляд ${\textstyle P(r)=0}$ і ${\textstyle e^{\nu }=1-2Gm/c^{2}r}$. Перша умова означає нульовий тиск на поверхні, а друга умова накладається так, що метрика на поверхні неперервно переходить в метрику Шварцшильда:

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})$

Загальна маса

${\textstyle m(r)}$ — це загальна маса, що міститься всередині радіуса ${\textstyle r}$, виміряна за створюваним нею гравітаційним полем. Вона задовольняє умові ${\textstyle m(0)=0}$ і розраховується з рівняння

${\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho$

Виміряна за створюваним гравітаційним полем загальна маса об'єкта ${\textstyle M}$, обмеженого максимальним радіусом ${\textstyle r=R}$, дорівнює

$M=m(R)=\int _{0}^{R}4\pi r^{2}\rho \,dr$

З іншого боку, обчислення маси шляхом інтегрування густини об'єкта по його об'єму дає більше значення:

$M_{1}=\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}\rho }{\sqrt {1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}}}}\,dr$

Різниця між цими двома величинами є від'ємною,

$\delta M=\int _{0}^{R}4\pi r^{2}\rho \left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}}}}\right)\,dr$,

Це гравітаційна енергія зв'язку об'єкта, поділена на ${\textstyle c^{2}}$.

Виведення із загальної теорії відносності

Припустімо статичну, сферично симетричну ідеальну рідину. Компоненти метрики подібні до компонентів метрики Шварцшильда:

$c^{2}\,d\tau ^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }=e^{\nu }c^{2}\,dt^{2}-e^{\lambda }\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}$

Згідно з припущенням ідеальної рідини, тензор енергії напруження є діагональним (у сферичній системі координат) з наступними власними значеннями густини енергії та тиску:

$T_{0}^{0}=\rho c^{2}$,

$T_{i}^{j}=-P\delta _{i}^{j}$.

Тут ${\textstyle \rho (r)}$ — густина рідини, а ${\textstyle P(r)}$ — її тиск.

Далі шукаємо розв'язок рівняння поля Ейнштейна:

${\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }=G_{\mu \nu }$

Спочатку розглядаємо компонент ${\textstyle G_{00}}$:

${\frac {8\pi G}{c^{4}}}\rho c^{2}e^{\nu }={\frac {e^{\nu }}{r^{2}}}\left(1-{\frac {d}{dr}}re^{-\lambda }\right)$

Інтегруючи цей вираз від 0 до ${\textstyle r}$, отримуємо

$e^{-\lambda }=1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}$,

де ${\textstyle m(r)}$ є таким, як визначено в попередньому розділі. Далі розглядаємо компонент ${\textstyle G_{11}}$. Для нього знаходимо:

$-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}Pe^{\lambda }={\frac {-r\nu '+e^{\lambda }-1}{r^{2}}}$.

Цей вираз можна спростити, використовуючи формулу для ${\textstyle e^{\lambda }}$:

${\frac {d\nu }{dr}}={\frac {1}{r}}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}\left({\frac {2Gm}{c^{2}r}}+{\frac {8\pi G}{c^{4}}}r^{2}P\right)$

Ми отримуємо друге рівняння, вимагаючи неперервності тензора енергії-напруження: ${\textstyle \nabla _{\mu }T_{\,\nu }^{\mu }=0}$. Завдяки статичності ${\textstyle \partial _{t}\rho =\partial _{t}P=0}$ і ізотропії ${\textstyle \partial _{\phi }P=\partial _{\theta }P=0}$, отримуємо

$0=\nabla _{\mu }T_{1}^{\mu }=-{\frac {dP}{dr}}-{\frac {1}{2}}\left(P+\rho c^{2}\right){\frac {d\nu }{dr}}\;$

Перестановка членів дає:

${\frac {dP}{dr}}=-\left({\frac {\rho c^{2}+P}{2}}\right){\frac {d\nu }{dr}}\;$

Це дає два вирази, які обидва містять ${\textstyle d\nu /dr}$. Усунувши ${\textstyle d\nu /dr}$, отримуємо:

${\frac {dP}{dr}}=-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\rho c^{2}+P}{2}}\right)\left({\frac {2Gm}{c^{2}r}}+{\frac {8\pi G}{c^{4}}}r^{2}P\right)\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}$

Винесши множник ${\textstyle G/r}$ і переставивши множники 2 і ${\textstyle c^{2}}$, отримуємо рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова:

${\frac {dP}{dr}}=-{\frac {G}{r^{2}}}\left(\rho +{\frac {P}{c^{2}}}\right)\left(m+4\pi r^{3}{\frac {P}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}$

Історія

Річард Толмен проаналізував сферично симетричні метрики в 1934 і 1939 роках. Наведена тут форма рівняння була виведена Робертом Оппенгеймером і Джорджем Волковим у їхній статті 1939 року «Про масивні нейтронні ядра». У цій статті рівняння стану для виродженого фермі-газу нейтронів було використано для розрахунку верхньої межі ~0,7 сонячні маси для гравітаційної маси нейтронної зорі. Оскільки це рівняння стану нереалістичне для нейтронної зорі, ця гранична маса також є невірною. Використовуючи спостереження гравітаційних хвиль від злиття подвійних нейтронних зір (наприклад, GW170817) і подальшу інформацію від електромагнітного випромінювання (кілонова), було показано, що максимальна маса нейтронної зорі (так звана межа Толмена — Опенгеймера — Волкова) близька до 2,17 маси Сонця. Попередні оцінки цієї межі коливаються від 1,5 до 3,0 мас Сонця.

Постньютонівське наближення

У постньютонівському наближенні, тобто для гравітаційного поля, яке лише трохи відрізняється від ньютонівського поля, рівняння можна розкласти за степенями ${\textstyle 1/c^{2}}$. Тоді рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова дає:

${\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho \left(1+{\frac {P}{\rho c^{2}}}+{\frac {4\pi r^{3}P}{mc^{2}}}+{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)+O(c^{-4}).$

Див. також

• Межа Толмена — Опенгеймера — Волкова